Date[]
StringJoin[ToString[Date[][[1]]],".",ToString[Date[][[2]]],".",ToString[Date[][[3]]]," ; ",ToString[Date[][[4]]],":",ToString[N[Date[][[5]],2]]]

Theoretical bias of stochastic search quantities

Point estimates, Y = (Ω/T)

YoverT = Normal[Series[(1/2)(1/((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ])))))))  (∑_(ℓ = 1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ](1 +δ ((((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[ℓ]))/((Subscript[P, i12])[ℓ]))))/((Subscript[P, 1])[ℓ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])))(Subscript[P, 2])[ℓ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ])))))  ,{δ,0,2}]]

(* expand denominator *)
(∑_(μ=1)^M)Normal[Series[((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ]))))),{δ,0,2}]]

expr = Expand[Normal[Series[((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ]))))),{δ,0,2}]]];
expr1 = Map[Sum[#,{μ,1,M}]&,expr]/.δ->0;
Do[
expr1 = expr1 + δ^n Map[Sum[#,{μ,1,M}]&,Coefficient[expr,δ^n]];
,{n,1,2}];
expr1

((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])) )(Expand[expr1/((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])))])

expr1a =  ((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])) )(Expand[expr1/((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])))])/.((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])))->(1/(OverBar[𝔑]))

expr1 = Normal[Series[1/expr1a,{δ,0,2}]]/.μ->ν

expr2 =  (Expand[Normal[Series[((𝔇[λ]  (Subscript[P, 12])[λ](1 +δ ((((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[λ]))/((Subscript[P, i12])[λ]))))/((Subscript[P, 1])[λ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[λ]))/((Subscript[P, 1])[λ])))(Subscript[P, 2])[λ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[λ]))/((Subscript[P, 2])[λ]))))),{δ,0,2}]]])
expr2a = Map[Sum[#,{λ,1,M}]&,expr2]/.δ->0;
Do[
expr2a = expr2a + δ^n Map[Sum[#,{λ,1,M}]&,Coefficient[expr2,δ^n]];
,{n,1,2}];
expr2a
expr2a =  expr2a/.((∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[P, 12])[λ])/((Subscript[P, 1])[λ] (Subscript[P, 2])[λ])))->((OverBar[ℭ]))

expr3 = Collect[Series[Expand[(expr2a)],{δ,0,2}],δ]

expr40 = Collect[Series[Expand[expr1 expr3],{δ,0,2}],δ]

expr4 = Coefficient[expr40,δ,0] + Coefficient[expr40,δ,2]

(* rules for evaluating expressions grouped here *)

rulesOverlapPSD = {(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^3)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) (Subscript[P, 12])[μ](Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (((Subscript[P, 12])[μ])^2) (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)(OverBar[ℭ])),
((((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))) )+( (1/N)1/(OverBar[𝔑])) ,
((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2) (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (1/N)(OverBar[ℭ]))};

rulesNonOverlapPSD = {(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^3)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) (Subscript[P, 12])[μ](Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (((Subscript[P, 12])[μ])^2) (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)(OverBar[ℭ])),
((((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ]))))^2)->((1/(N/2))(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))) )+( (1/(N/2))1/(OverBar[𝔑])) ,
((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (0/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2) (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (0/N)(OverBar[ℭ]))};

result = Expand[ expr4/.λ->μ/.ν->μ/.rulesOverlapPSD]
result/.𝔇[μ]->0/.((OverBar[ℭ])(OverBar[𝔑]) )->( Ω)/.N->n
resultNon = Expand[ expr4/.λ->μ/.ν->μ/.rulesNonOverlapPSD]
resultNon/.𝔇[μ]->0/.((OverBar[ℭ])(OverBar[𝔑]) )->( Ω)/.N->n

Clear[result1Ω,resultΩ,resultNonΩ,result1NonΩ]
(* result1Ω[ Ω_,n_]:= result/.𝔇[μ]->0/.((OverBar[ℭ])(OverBar[𝔑]) )->( Ω)/.N->n *)
result1Ω[ Ω_,N_]:=Ω-((2 Ω)/N)
resultΩ[ Ω_,n_] := PowerExpand[Normal[Series[result1Ω[ Ω,n],{n,Infinity,1}]]]

(* result1NonΩ[ Ω_,n_] := resultNon/.𝔇[μ]->0/.((OverBar[ℭ])(OverBar[𝔑]) )->(Ω)/.N->n  *)
result1NonΩ[ Ω_,n_] := Ω
resultNonΩ[ Ω_,p_] := result1NonΩ[ Ω,p]

resultΩ[(Subscript[Ω, 0]),N]
resultΩval = result1Ω[ 1.,9/11 29]

resultNonΩ[(Subscript[Ω, 0]),N]
resultNonΩval =result1NonΩ[1.,9/11 59.]

Standard deviations σ

SqrtVarσ2 = Normal[Series[(1/(Sqrt[(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ])))))]))    ,{δ,0,2}]]

(* expand denominator *)
(∑_(μ=1)^M)Normal[Series[((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ]))))),{δ,0,2}]]

expr = Expand[Normal[Series[((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ]))))),{δ,0,2}]]];
expr1 = Map[Sum[#,{μ,1,M}]&,expr]/.δ->0;
Do[
expr1 = expr1 + δ^n Map[Sum[#,{μ,1,M}]&,Coefficient[expr,δ^n]];
,{n,1,2}];
expr1 = Expand[Normal[Series[Sqrt[expr1],{δ,0,2}]]]

Sqrt[ ((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])) )](Expand[expr1/Sqrt[((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])))]])

expr1a = Sqrt[ ((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])) )](Expand[expr1/Sqrt[((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])))]])/.((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])))->(1/(OverBar[𝔑]))

expr1 = Normal[Series[1/expr1a,{δ,0,2}]]/.μ->ν

expr40 = Collect[Series[Expand[expr1 ],{δ,0,2}],δ]

expr4 = Coefficient[expr40,δ,0] + Coefficient[expr40,δ,2]

(* Rules for evaluating expressions grouped here *)

rulesOverlapPSD = {(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^3)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) (Subscript[P, 12])[μ](Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (((Subscript[P, 12])[μ])^2) (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)(OverBar[ℭ])),
((((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))) )+( (1/N)1/(OverBar[𝔑])) ,
((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2) (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (1/N)(OverBar[ℭ]))};
rulesNonOverlapPSD = {(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^3)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) (Subscript[P, 12])[μ](Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (((Subscript[P, 12])[μ])^2) (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)(OverBar[ℭ])),
((((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ]))))^2)->((1/(N/2))(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))) )+( (1/(N/2))1/(OverBar[𝔑])) ,
((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (0/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2) (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (0/N)(OverBar[ℭ]))};

result = Expand[ expr4/.λ->μ/.ν->μ/.rulesOverlapPSD]
resultNon = Expand[ expr4/.λ->μ/.ν->μ/.rulesNonOverlapPSD]

Clear[result1σ,resultσ,result1Nonσ,resultNonσ]
(*result1σ[σ_,n_] := result/.𝔇[μ]->0/.((1/(Sqrt[(1/(OverBar[𝔑]))])) )->( σ)/.N->n*)
result1σ[σ_,N_] := σ-(σ/N)
resultσ[σ_,N_] := PowerExpand[Normal[Series[result1σ[σ,N],{N,Infinity,1}]]]

(*result1Nonσ[σ_,n_] := resultNon/.𝔇[μ]->0/.((1/(Sqrt[(1/(OverBar[𝔑]))])) )->( σ)/.N->n*)
result1Nonσ[σ_,N_] := σ-(σ/N)
resultNonσ[σ_,N_] := PowerExpand[Normal[Series[result1Nonσ[σ,N],{N,Infinity,1}]]]

resultσ[(Subscript[σ, 0]),N]
resultσval = result1σ[1,9/11 29.]

resultNonσ[(Subscript[σ, 0]),N]
resultNonσval = result1Nonσ[1,9/11 59.]

Averaged point estimates, (OverBar[Y]) = (((∑_(i=1)^K)(1/(Subscript[σ, i]^2))(Subscript[Y, i]))/((∑_(i=1)^K)(1/(Subscript[σ, i]^2))))

Ybar = Normal[Series[(1/2)(((∑_(i=1)^K)(  (∑_(ℓ = 1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, i12])[ℓ](1 +δ ((((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[ℓ]))/((Subscript[P, i12])[ℓ]))))/((Subscript[P, i1])[ℓ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ℓ]))/((Subscript[P, i1])[ℓ])))(Subscript[P, i2])[ℓ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ℓ]))/((Subscript[P, i2])[ℓ]))))) ))/((∑_(i=1)^K)((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, i1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[μ]))/((Subscript[P, i1])[μ])))(Subscript[P, i2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[μ]))/((Subscript[P, i2])[μ])))))))) ,{δ,0,2}]]

(* expand denominator *)
(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)Normal[Series[((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, i1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[μ]))/((Subscript[P, i1])[μ])))(Subscript[P, i2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[μ]))/((Subscript[P, i2])[μ]))))),{δ,0,2}]]

expr = Expand[Normal[Series[((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, i1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[μ]))/((Subscript[P, i1])[μ])))(Subscript[P, i2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[μ]))/((Subscript[P, i2])[μ]))))),{δ,0,2}]]];
expr1 = Map[Sum[#,{i,1,K},{μ,1,M}]&,expr]/.δ->0;
Do[
expr1 = expr1 + δ^n  Map[Sum[#,{i,1,K},{μ,1,M}]&,Coefficient[expr,δ^n]];
,{n,1,2}];
expr1

((∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, i1])[μ] (Subscript[P, i2])[μ])) )(Expand[expr1/((∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, i1])[μ] (Subscript[P, i2])[μ])))])

expr1a =  ((∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, i1])[μ] (Subscript[P, i2])[μ])) )(Expand[expr1/((∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, i1])[μ] (Subscript[P, i2])[μ])))])/.((∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, i1])[μ] (Subscript[P, i2])[μ])))->((∑_(i=1)^K)1/(Subscript[(OverBar[𝔑]), i]))

expr1 = Normal[Series[1/expr1a,{δ,0,2}]]/.μ->ν

expr2 =  (Expand[Normal[Series[((𝔇[λ]  (Subscript[P, j12])[λ](1 +δ ((((Subscript[(OverTilde[ϵP]), j12])[λ]))/((Subscript[P, j12])[λ]))))/((Subscript[P, j1])[λ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), j1])[λ]))/((Subscript[P, j1])[λ])))(Subscript[P, j2])[λ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), j2])[λ]))/((Subscript[P, j2])[λ]))))),{δ,0,2}]]])
expr2a = Map[Sum[#,{j,1,K},{λ,1,M}]&,expr2]/.δ->0;
Do[
expr2a = expr2a + δ^n Map[Sum[#,{j,1,K},{λ,1,M}]&,Coefficient[expr2,δ^n]];
,{n,1,2}];
expr2a
expr2a =  expr2a/.((∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ])/((Subscript[P, j1])[λ] (Subscript[P, j2])[λ])))->((∑_(j=1)^K)(Subscript[(OverBar[ℭ]), j]))

expr3 = Collect[Series[Expand[(expr2a)],{δ,0,2}],δ]

expr40 = Collect[Series[Expand[expr1 expr3],{δ,0,2}],δ]

expr4 = Coefficient[expr40,δ,0] + Coefficient[expr40,δ,2]/.((∑_(j=1)^K)(Subscript[(OverBar[ℭ]), j]))-> (Subscript[(OverBar[Ω]), 0])((∑_(i=1)^K)(1/(Subscript[(OverBar[𝔑]), i])))

(* RULES FOR EVALUATING EXPRESSIONS GROUPED HERE *)

rulesOverlapPSD = {(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν])/((((Subscript[P, i1])[ν])^2) (Subscript[P, i2])[ν]))) (∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])/((Subscript[P, i1])[ν] (((Subscript[P, i2])[ν])^2))))->((2/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) (Subscript[P, i12])[μ](Subscript[Pc, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^3) (((Subscript[P, i2])[μ])^3)))),(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν])/((((Subscript[P, i1])[ν])^2) (Subscript[P, i2])[ν]))) (∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), j12])[λ])/((Subscript[P, j1])[λ] (Subscript[P, j2])[λ])))->(-(1/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[Pi, 2])[μ])^2)))),(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])/((Subscript[P, i1])[ν] (((Subscript[P, i2])[ν])^2)))) (∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), j12])[λ])/((Subscript[P, j1])[λ] (Subscript[P, j2])[λ])))->(-(1/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[Pi, 2])[μ])^2)))),(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])/((Subscript[P, i1])[ν] (((Subscript[P, i2])[ν])^2)))) (∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)-((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j1])[λ])/((((Subscript[P, j1])[λ])^2) (Subscript[P, j2])[λ])))->((2/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, i12])[μ])^2)(Subscript[Pc, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^3) (((Subscript[P, i2])[μ])^3)))),(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν])/((((Subscript[P, i1])[ν])^2) (Subscript[P, i2])[ν]))) (∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)-((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j2])[λ])/((Subscript[P, j1])[λ] (((Subscript[P, j2])[λ])^2))))->((2/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, i12])[μ])^2)(Subscript[Pc, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^3) (((Subscript[P, i2])[μ])^3)))),(∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν] (Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])/((((Subscript[P, i1])[ν])^2) (((Subscript[P, i2])[ν])^2)))->((2/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[P, i12])[μ] (Subscript[Pc, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[P, i2])[μ])^2)))),((∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j1])[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j2])[λ])/((((Subscript[P, j1])[λ])^2) (((Subscript[P, j2])[λ])^2))))->((2/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (((Subscript[P, i12])[μ])^2) (Subscript[Pc, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[P, i2])[μ])^2)))),((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)((((𝔇[ν])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])^2))/((Subscript[P, i1])[ν] (((Subscript[P, i2])[ν])^3))))->((1/N)(∑_(i=1)^K)1/(Subscript[(OverBar[𝔑]), i])),((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)((((𝔇[ν])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν])^2))/((((Subscript[P, i1])[ν])^3) (Subscript[P, i2])[ν])))->((1/N)(∑_(i=1)^K)1/(Subscript[(OverBar[𝔑]), i])),((((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν])/((((Subscript[P, i1])[ν])^2) (Subscript[P, i2])[ν]))))^2)->(-(1/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[P, i2])[μ])^2)))),((((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])/((Subscript[P, i1])[ν] (((Subscript[P, i2])[ν])^2)))))^2)->(-(1/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[P, i2])[μ])^2)))),(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν])/((((Subscript[P, i1])[ν])^2) (Subscript[P, i2])[ν]))) (∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)-((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j1])[λ])/((((Subscript[P, j1])[λ])^2) (Subscript[P, j2])[λ])))->((1/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[P, i2])[μ])^2)))),(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])/((Subscript[P, i1])[ν] (((Subscript[P, i2])[ν])^2)))) (∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)-((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j2])[λ])/((Subscript[P, j1])[λ] (((Subscript[P, j2])[λ])^2))))->((1/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[P, i2])[μ])^2)))),((∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), j1])[λ])^2))/((((Subscript[P, j1])[λ])^3) (Subscript[P, j2])[λ])))->((1/N)(∑_(i=1)^K)(Subscript[(OverBar[ℭ]), i])),((∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), j2])[λ])^2))/((Subscript[P, j1])[λ] (((Subscript[P, j2])[λ])^3))))->((1/N)(∑_(i=1)^K)(Subscript[(OverBar[ℭ]), i])),
((∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)-((𝔇[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j1])[λ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), j12])[λ])/((((Subscript[P, j1])[λ])^2) (Subscript[P, j2])[λ])))-> (- (1/N)(∑_(i=1)^K)(Subscript[(OverBar[ℭ]), i])),((∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)-((𝔇[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j2])[λ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), j12])[λ])/((Subscript[P, j1])[λ] (((Subscript[P, j2])[λ])^2))))-> (- (1/N)(∑_(i=1)^K)(Subscript[(OverBar[ℭ]), i]))}/.ν->μ/.λ->μ;
rulesNonOverlapPSD = {(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν])/((((Subscript[P, i1])[ν])^2) (Subscript[P, i2])[ν]))) (∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])/((Subscript[P, i1])[ν] (((Subscript[P, i2])[ν])^2))))->((2/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) (Subscript[P, i12])[μ](Subscript[Pc, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^3) (((Subscript[P, i2])[μ])^3)))),(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν])/((((Subscript[P, i1])[ν])^2) (Subscript[P, i2])[ν]))) (∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), j12])[λ])/((Subscript[P, j1])[λ] (Subscript[P, j2])[λ])))->(-(0/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[Pi, 2])[μ])^2)))),(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])/((Subscript[P, i1])[ν] (((Subscript[P, i2])[ν])^2)))) (∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), j12])[λ])/((Subscript[P, j1])[λ] (Subscript[P, j2])[λ])))->(-(0/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[Pi, 2])[μ])^2)))),(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])/((Subscript[P, i1])[ν] (((Subscript[P, i2])[ν])^2)))) (∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)-((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j1])[λ])/((((Subscript[P, j1])[λ])^2) (Subscript[P, j2])[λ])))->((2/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, i12])[μ])^2)(Subscript[Pc, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^3) (((Subscript[P, i2])[μ])^3)))),(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν])/((((Subscript[P, i1])[ν])^2) (Subscript[P, i2])[ν]))) (∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)-((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j2])[λ])/((Subscript[P, j1])[λ] (((Subscript[P, j2])[λ])^2))))->((2/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, i12])[μ])^2)(Subscript[Pc, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^3) (((Subscript[P, i2])[μ])^3)))),(∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν] (Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])/((((Subscript[P, i1])[ν])^2) (((Subscript[P, i2])[ν])^2)))->((2/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[P, i12])[μ] (Subscript[Pc, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[P, i2])[μ])^2)))),((∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j1])[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j2])[λ])/((((Subscript[P, j1])[λ])^2) (((Subscript[P, j2])[λ])^2))))->((2/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (((Subscript[P, i12])[μ])^2) (Subscript[Pc, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[P, i2])[μ])^2)))),((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)((((𝔇[ν])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])^2))/((Subscript[P, i1])[ν] (((Subscript[P, i2])[ν])^3))))->((1/N)(∑_(i=1)^K)1/(Subscript[(OverBar[𝔑]), i])),((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)((((𝔇[ν])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν])^2))/((((Subscript[P, i1])[ν])^3) (Subscript[P, i2])[ν])))->((1/N)(∑_(i=1)^K)1/(Subscript[(OverBar[𝔑]), i])),((((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν])/((((Subscript[P, i1])[ν])^2) (Subscript[P, i2])[ν]))))^2)->(-(1/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[P, i2])[μ])^2)))),((((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])/((Subscript[P, i1])[ν] (((Subscript[P, i2])[ν])^2)))))^2)->(-(1/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[P, i2])[μ])^2)))),(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ν])/((((Subscript[P, i1])[ν])^2) (Subscript[P, i2])[ν]))) (∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)-((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j1])[λ])/((((Subscript[P, j1])[λ])^2) (Subscript[P, j2])[λ])))->((1/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[P, i2])[μ])^2)))),(((∑_(i=1)^K)(∑_(ν=1)^M)-((((𝔇[ν])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ν])/((Subscript[P, i1])[ν] (((Subscript[P, i2])[ν])^2)))) (∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)-((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j2])[λ])/((Subscript[P, j1])[λ] (((Subscript[P, j2])[λ])^2))))->((1/N)(∑_(i=1)^K)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, i12])[μ])/((((Subscript[P, i1])[μ])^2) (((Subscript[P, i2])[μ])^2)))),((∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), j1])[λ])^2))/((((Subscript[P, j1])[λ])^3) (Subscript[P, j2])[λ])))->((1/N)(∑_(i=1)^K)(Subscript[(OverBar[ℭ]), i])),((∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[P, j12])[λ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), j2])[λ])^2))/((Subscript[P, j1])[λ] (((Subscript[P, j2])[λ])^3))))->((1/N)(∑_(i=1)^K)(Subscript[(OverBar[ℭ]), i])),
((∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)-((𝔇[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j1])[λ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), j12])[λ])/((((Subscript[P, j1])[λ])^2) (Subscript[P, j2])[λ])))-> (- (0/N)(∑_(i=1)^K)(Subscript[(OverBar[ℭ]), i])),((∑_(j=1)^K)(∑_(λ=1)^M)-((𝔇[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), j2])[λ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), j12])[λ])/((Subscript[P, j1])[λ] (((Subscript[P, j2])[λ])^2))))-> (- (0/N)(∑_(i=1)^K)(Subscript[(OverBar[ℭ]), i]))}/.ν->μ/.λ->μ;

result = Expand[ expr4/.λ->μ/.ν->μ/.rulesOverlapPSD]
resultNon = Expand[ expr4/.λ->μ/.ν->μ/.rulesNonOverlapPSD]/.((∑_(i=1)^K)(Subscript[(OverBar[ℭ]), i]))-> (Subscript[(OverBar[Ω]), 0])((∑_(i=1)^K)(1/(Subscript[(OverBar[𝔑]), i])))

Clear[result1Ωbar,resultΩbar, resultNonΩbar, result1NonΩbar ]
(*result1Ωbar[ Ω_,n_]:= result/.𝔇[μ]->0/.N->n*)
result1Ωbar[ Ω_,N_]:=Ω-((2 Ω)/N)
resultΩbar[ Ω_,n_] := PowerExpand[Normal[Series[result1Ωbar[ Ω,n],{n,Infinity,1}]]]

(*result1NonΩbar[ Ω_,n_] := resultNon/.𝔇[μ]->0/.N->n*)
result1NonΩbar[ Ω_,n_] := Ω
resultNonΩbar[ Ω_,p_] := result1NonΩbar[ Ω,p]

resultΩbar[(Subscript[(OverBar[Ω]), 0]),N]
resultΩbarval = result1Ωbar[ 1.,9/11 29]

resultNonΩbar[(Subscript[(OverBar[Ω]), 0]),N]
resultNonΩbarval =result1NonΩbar[1.,9/11 59.]

Variances (σ^2) and normalization of Y, 𝒩 ∝ (σ^2)

Varσ2 = Normal[Series[(1/((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ])))))))   ,{δ,0,2}]]

(* expand denominator *)
(∑_(μ=1)^M)Normal[Series[((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ]))))),{δ,0,2}]]

expr = Expand[Normal[Series[((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ]))))),{δ,0,2}]]];
expr1 = Map[Sum[#,{μ,1,M}]&,expr]/.δ->0;
Do[
expr1 = expr1 + δ^n Map[Sum[#,{μ,1,M}]&,Coefficient[expr,δ^n]];
,{n,1,2}];
expr1

((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])) )(Expand[expr1/((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])))])

expr1a = ((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])) )(Expand[expr1/((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])))])/.((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])))->(1/(OverBar[𝔑]))

expr1 = Normal[Series[1/expr1a,{δ,0,2}]]/.μ->ν

expr40 = Collect[Series[Expand[expr1 ],{δ,0,2}],δ]

expr4 = Coefficient[expr40,δ,0] + Coefficient[expr40,δ,2]

(* Rules for evaluating expression grouped here *)

rulesOverlapPSD = {(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^3)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) (Subscript[P, 12])[μ](Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (((Subscript[P, 12])[μ])^2) (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)(OverBar[ℭ])),
((((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))) )+( (1/N)1/(OverBar[𝔑])) ,
((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2) (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (1/N)(OverBar[ℭ]))};

rulesNonOverlapPSD = {(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^3)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) (Subscript[P, 12])[μ](Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (((Subscript[P, 12])[μ])^2) (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)(OverBar[ℭ])),
((((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ]))))^2)->((1/(N/2))(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))) )+( (1/(N/2))1/(OverBar[𝔑])) ,
((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (0/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2) (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (0/N)(OverBar[ℭ]))};

result = Expand[ expr4/.λ->μ/.ν->μ/.rulesOverlapPSD]
resultNon = Expand[ expr4/.λ->μ/.ν->μ/.rulesNonOverlapPSD]

Clear[result1σ2,resultσ2,result1Nonσ2,resultNonσ2]
(*result1σ2[ σ_,n_] := result/.𝔇[μ]->0/.((OverBar[𝔑]) )->( (σ^2))/.N->n*)
result1σ2[ σ_,N_] :=(σ^2)-((2 (σ^2))/N)
resultσ2[ σ_,N_] := PowerExpand[Normal[Series[result1σ2[σ,N],{N,Infinity,1}]]]

(*result1Nonσ2[ σ_,n_] := resultNon/.𝔇[μ]->0/.((OverBar[𝔑]) )->( (σ^2))/.N->n*)
result1Nonσ2[ σ_,n_] := (σ^2)-((2 (σ^2))/n)
resultNonσ2[ σ_,N_] := PowerExpand[Normal[Series[result1Nonσ2[σ,N],{N,Infinity,1}]]]

result1σ2[(Subscript[σ, 0]),N]
resultσ2val = result1σ2[1,29.]

result1Nonσ2[(Subscript[σ, 0]),N]
resultNonσ2val = PowerExpand[Normal[Series[result1Nonσ2[(Subscript[σ, 0]),N],{N,Infinity,1}]]]/.(Subscript[σ, 0])->1/.N->9/11 59.

Normalized deviates (Ω/σ)

ΩOverσ = Normal[Series[(1/2)(1/(Sqrt[(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ])))))]))  (∑_(ℓ = 1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ](1 +δ ((((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[ℓ]))/((Subscript[P, i12])[ℓ]))))/((Subscript[P, 1])[ℓ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])))(Subscript[P, 2])[ℓ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ])))))  ,{δ,0,2}]]

(* expand denominator *)
(∑_(μ=1)^M)Normal[Series[((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ]))))),{δ,0,2}]]

expr = Expand[Normal[Series[((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ]))))),{δ,0,2}]]];
expr1 = Map[Sum[#,{μ,1,M}]&,expr]/.δ->0;
Do[
expr1 = expr1 + δ^n Map[Sum[#,{μ,1,M}]&,Coefficient[expr,δ^n]];
,{n,1,2}];
expr1 = Expand[Normal[Series[Sqrt[expr1],{δ,0,2}]]]

Sqrt[ ((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])) )](Expand[expr1/Sqrt[((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])))]])

expr1a = Sqrt[ ((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])) )](Expand[expr1/Sqrt[((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])))]])/.((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])))->(1/(OverBar[𝔑]))

expr1 = Normal[Series[1/expr1a,{δ,0,2}]]/.μ->ν

expr2 =  (Expand[Normal[Series[((𝔇[λ]  (Subscript[P, 12])[λ](1 +δ ((((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[λ]))/((Subscript[P, i12])[λ]))))/((Subscript[P, 1])[λ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[λ]))/((Subscript[P, 1])[λ])))(Subscript[P, 2])[λ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[λ]))/((Subscript[P, 2])[λ]))))),{δ,0,2}]]])
expr2a = Map[Sum[#,{λ,1,M}]&,expr2]/.δ->0;
Do[
expr2a = expr2a + δ^n Map[Sum[#,{λ,1,M}]&,Coefficient[expr2,δ^n]];
,{n,1,2}];
expr2a
expr2a =  expr2a/.((∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[P, 12])[λ])/((Subscript[P, 1])[λ] (Subscript[P, 2])[λ])))->((OverBar[ℭ]))

expr3 = Collect[Series[Expand[(expr2a)],{δ,0,2}],δ]

expr40 = Collect[Series[Expand[expr1 expr3],{δ,0,2}],δ]

expr4 = Coefficient[expr40,δ,0] + Coefficient[expr40,δ,2]

(* RULES FOR EVALUATING EXPRESSIONS GROUPED HERE *)

rulesOverlapPSD = {(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^3)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) (Subscript[P, 12])[μ](Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (((Subscript[P, 12])[μ])^2) (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)(OverBar[ℭ])),
((((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))) )+( (1/N)1/(OverBar[𝔑])) ,
((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2) (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (1/N)(OverBar[ℭ]))};
rulesNonOverlapPSD = {(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^3)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) (Subscript[P, 12])[μ](Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (((Subscript[P, 12])[μ])^2) (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)(OverBar[ℭ])),
((((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ]))))^2)->((1/(N/2))(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))) )+( (1/(N/2))1/(OverBar[𝔑])) ,
((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (0/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2) (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (0/N)(OverBar[ℭ]))};

result = Expand[ expr4/.λ->μ/.ν->μ/.rulesOverlapPSD]
resultNon = Expand[ expr4/.λ->μ/.ν->μ/.rulesNonOverlapPSD]

Clear[result1Ωoverσ,resultΩoverσ,result1NonΩoverσ,resultNonΩoverσ]
(*result1Ωoverσ[Ω_,σ_,n_] := result/.𝔇[μ]->0/.(((OverBar[ℭ])/(Sqrt[(1/(OverBar[𝔑]))])) )->( (Ω/σ))/.N->n*)
result1Ωoverσ[Ω_,σ_,N_] :=  (Ω/σ)-(Ω/(N σ))
resultΩoverσ[Ω_,σ_,N_] := PowerExpand[Normal[Series[result1Ωoverσ[Ω,σ,N],{N,Infinity,1}]]]

(*result1NonΩoverσ[Ω_,σ_,n_] := resultNon/.𝔇[μ]->0/.(((OverBar[ℭ])/(Sqrt[(1/(OverBar[𝔑]))])) )->( (Ω/σ))/.N->n*)
result1NonΩoverσ[Ω_,σ_,N_] := (Ω/σ)+(Ω/(N σ))
resultNonΩoverσ[Ω_,σ_,N_] := PowerExpand[Normal[Series[result1NonΩoverσ[Ω,σ,N],{N,Infinity,1}]]]

resultΩoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N]
resultΩoverσval = PowerExpand[Normal[Series[result1Ωoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],{N,Infinity,1}]]]/.(Subscript[Ω, 0])->1/.(Subscript[σ, 0])->1/.N->9/11 29.

resultNonΩoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N]
resultNonΩoverσval = PowerExpand[Normal[Series[result1NonΩoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],{N,Infinity,1}]]]/.(Subscript[Ω, 0])->1/.(Subscript[σ, 0])->1/.N->9/11 59.

Variance of deviates ((((Ω/σ)))^2)

Ω2Overσ2 = Normal[Series[(1/4)(1/((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ])))))))  (∑_(ℓ = 1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ](1 +δ ((((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[ℓ]))/((Subscript[P, i12])[ℓ]))))/((Subscript[P, 1])[ℓ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[ℓ] ))/((Subscript[P, 1])[ℓ])))(Subscript[P, 2])[ℓ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))))) (∑_(λ = 1)^M)((𝔇[λ]  (Subscript[P, 12])[λ](1 +δ ((((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[λ]))/((Subscript[P, i12])[λ]))))/((Subscript[P, 1])[λ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[λ]))/((Subscript[P, 1])[λ])))(Subscript[P, 2])[λ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[λ]))/((Subscript[P, 2])[λ]))))) ,{δ,0,2}]]

Collect[Normal[Series[((∑_(ℓ=1)^M)((∑_(λ=1)^M)(((𝔇[λ] (Subscript[P, 12])[λ])/((Subscript[P, 1])[λ] (Subscript[P, 2])[λ]))+((δ 𝔇[λ] (Subscript[P, 12])[λ] (-(((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[λ])/((Subscript[P, 1])[λ]))-(((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[λ])/((Subscript[P, 2])[λ]))+(((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[λ])/((Subscript[P, i12])[λ]))))/((Subscript[P, 1])[λ] (Subscript[P, 2])[λ]))+(1/((Subscript[P, 1])[λ] (Subscript[P, 2])[λ]))((δ^2) 𝔇[λ] (Subscript[P, 12])[λ] (((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[λ])^2)/(((Subscript[P, 1])[λ])^2))+(((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[λ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[λ])/((Subscript[P, 1])[λ] (Subscript[P, 2])[λ]))+((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[λ])^2)/(((Subscript[P, 2])[λ])^2))+(((-(((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[λ])/((Subscript[P, 1])[λ]))-(((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[λ])/((Subscript[P, 2])[λ]))) (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[λ])/((Subscript[P, i12])[λ])))))) (((𝔇[ℓ] (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))+((δ 𝔇[ℓ] (Subscript[P, 12])[ℓ] (-(((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ]))-(((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[ℓ])/((Subscript[P, 2])[ℓ]))+(((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[ℓ])/((Subscript[P, i12])[ℓ]))))/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))+(1/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))((δ^2) 𝔇[ℓ] (Subscript[P, 12])[ℓ] (((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[ℓ])^2)/(((Subscript[P, 1])[ℓ])^2))+(((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[ℓ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))+((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[ℓ])^2)/(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))+(((-(((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ]))-(((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[ℓ])/((Subscript[P, 2])[ℓ]))) (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[ℓ])/((Subscript[P, i12])[ℓ]))))))/(4 ((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ]))+δ (∑_(μ=1)^M)(-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))+(δ^2) (∑_(μ=1)^M)(((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ]))+((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))+((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))))) ,{δ,0,2}]],δ]

(* expand denominator *)
(∑_(μ=1)^M)Normal[Series[((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ]))))),{δ,0,2}]]

expr = Expand[Normal[Series[((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 + δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ]))))),{δ,0,2}]]];
expr1 = Map[Sum[#,{μ,1,M}]&,expr]/.δ->0;
Do[
expr1 = expr1 + δ^n Map[Sum[#,{μ,1,M}]&,Coefficient[expr,δ^n]];
,{n,1,2}];
expr1

((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])) )(Expand[expr1/(∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ]))])

expr1a = ((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])) )(Expand[expr1/(∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ]))])/.((∑_(μ=1)^M)(((𝔇[μ])^2)/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ])))->(1/(OverBar[𝔑]))

expr1 = Normal[Series[1/expr1a,{δ,0,2}]]/.μ->ν

expr2 =  (Expand[Normal[Series[((𝔇[λ]  (Subscript[P, 12])[λ](1 +δ ((((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[λ]))/((Subscript[P, i12])[λ]))))/((Subscript[P, 1])[λ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[λ]))/((Subscript[P, 1])[λ])))(Subscript[P, 2])[λ] (1 +δ ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[λ]))/((Subscript[P, 2])[λ]))))),{δ,0,2}]]])
expr2a = Map[Sum[#,{λ,1,M}]&,expr2]/.δ->0;
Do[
expr2a = expr2a + δ^n Map[Sum[#,{λ,1,M}]&,Coefficient[expr2,δ^n]];
,{n,1,2}];
expr2a
expr2a =  expr2a/.((∑_(λ=1)^M)((𝔇[λ] (Subscript[P, 12])[λ])/((Subscript[P, 1])[λ] (Subscript[P, 2])[λ])))->((OverBar[ℭ]))

expr3 = Collect[Series[Expand[(expr2a)(expr2a/.λ->μ)],{δ,0,2}],δ]

expr40 = Collect[Series[Expand[expr1 expr3],{δ,0,2}],δ]

expr4 = Coefficient[expr40,δ,0] + Coefficient[expr40,δ,2]

(* RULES FOR EVALUATING EXPRESSIONS GROUPED HERE *)

rulesOverlapPSD = {(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^3)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) (Subscript[P, 12])[μ](Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (((Subscript[P, 12])[μ])^2) (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)(OverBar[ℭ])),
((((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))) )+( (1/N)1/(OverBar[𝔑])) ,
((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2) (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (1/N)(OverBar[ℭ]))};
rulesNonOverlapPSD = {(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^3)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) (Subscript[P, 12])[μ](Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (((Subscript[P, 12])[μ])^2)(Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (((Subscript[P, 2])[μ])^3)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))->(-(0/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((2/N)(∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (((Subscript[P, 12])[μ])^2) (Subscript[Pc, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)1/(OverBar[𝔑])),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->(-(1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^4) )/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),(((∑_(μ=1)^M)-((((𝔇[μ])^2) (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))) (∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2))))->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^3) (Subscript[P, 12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ]))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))))^2)->((1/N)(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2)))),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^3) (Subscript[P, 2])[μ])))->((1/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ])^2))/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^3))))->((1/N)(OverBar[ℭ])),
((((∑_(μ=1)^M)((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ]))))^2)->((1/(N/2))(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ])^2) (((Subscript[P, 12])[μ])^2))/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (((Subscript[P, 2])[μ])^2))) )+( (1/(N/2))1/(OverBar[𝔑])) ,
((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((((Subscript[P, 1])[μ])^2) (Subscript[P, 2])[μ] (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (0/N)(OverBar[ℭ])),((∑_(μ=1)^M)-((𝔇[μ] (Subscript[P, 12])[μ] (Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ] (Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[μ])/((Subscript[P, 1])[μ] (((Subscript[P, 2])[μ])^2) (Subscript[P, i12])[μ])))-> (- (0/N)(OverBar[ℭ]))};

result = Expand[ expr4/.λ->μ/.ν->μ/.rulesOverlapPSD]
resultNon = Expand[ expr4/.λ->μ/.ν->μ/.rulesNonOverlapPSD]

Clear[result1Ω2Overσ2,result1NonΩ2Overσ2,resultΩ2Overσ2,resultNonΩ2Overσ2]
(*result1Ω2Overσ2[Ω_,σ_,n_] := result/.𝔇[μ]->0/.(((OverBar[ℭ])^2) (OverBar[𝔑]) )->( ((Ω^2)/(σ^2)))/.N->n*)
result1Ω2Overσ2[Ω_,σ_,N_] := ((Ω^2)/(σ^2))+((1-((2 (Ω^2))/(σ^2)))/N)
resultΩ2Overσ2[Ω_,σ_,n_] := PowerExpand[Normal[Series[result1Ω2Overσ2[Ω,σ,n],{n,Infinity,1}]]]

(*result1NonΩ2Overσ2[Ω_,σ_,n_] := resultNon/.𝔇[μ]->0/.(((OverBar[ℭ])^2) (OverBar[𝔑]) )->( ((Ω^2)/(σ^2)))/.N->n*)
result1NonΩ2Overσ2[Ω_,σ_,N_] := ((Ω^2)/(σ^2))+((2+((2 (Ω^2))/(σ^2)))/N)
resultNonΩ2Overσ2[Ω_,σ_,n_] := PowerExpand[Normal[Series[result1NonΩ2Overσ2[Ω,σ,n],{n,Infinity,1}]]]

resultΩ2Overσ2[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N]
resultΩ2Overσ2val =result1Ω2Overσ2[1,1,9/11 29.]

resultNonΩ2Overσ2[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N]
resultNonΩ2Overσ2val = result1NonΩ2Overσ2[1,1,9/11 59.]

Generate tables of results

MatrixForm[Partition[{resultΩ[(Subscript[Ω, 0]),N],resultNonΩ[(Subscript[Ω, 0]),N],resultσ2[(Subscript[σ, 0]),N],resultNonσ2[(Subscript[σ, 0]),N],resultσ[(Subscript[σ, 0]),N],resultNonσ[(Subscript[σ, 0]),N],resultΩoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],resultNonΩoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],resultΩ2Overσ2[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],resultNonΩ2Overσ2[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N]},1]]

c0 = Flatten[{"Parameter",Partition[Transpose[{{(Subscript[Ω, calc,ovlpPSD]),(Subscript[Ω, calc,nonovlpPSD]),(Subscript[σ, calc,ovlpPSD]^2),(Subscript[σ, calc,nonovlpPSD]^2),(Subscript[σ, calc,ovlpPSD]),(Subscript[σ, calc,nonovlpPSD]),(Subscript[((Ω/σ)), calc,ovlpPSD]),(Subscript[((Ω/σ)), calc,nonovlpPSD]),(Subscript[((Ω/σ)), calc,ovlpPSD]^2),(Subscript[((Ω/σ)), calc,nonovlpPSD]^2)},{"-","-","-","-","-","-","-","-","-","-"}}],1]}];
c1 = Flatten[{"To (1^st) order in \n(1/N), parameter",Transpose[{{resultΩ[(Subscript[Ω, 0]),N],resultNonΩ[(Subscript[Ω, 0]),N],resultσ2[(Subscript[σ, 0]),N],resultNonσ2[(Subscript[σ, 0]),N],resultσ[(Subscript[σ, 0]),N],resultNonσ[(Subscript[σ, 0]),N],resultΩoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],resultNonΩoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],resultΩ2Overσ2[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],resultNonΩ2Overσ2[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N]},{"-","-","-","-","-","-","-","-","-","-"}}]}];
c2 =Flatten[{"((calc.)/theory)", Floor[1000 Flatten[Transpose[{{resultΩ[(Subscript[Ω, 0]),N],resultNonΩ[(Subscript[Ω, 0]),N2],resultσ2[(Subscript[σ, 0]),N],resultNonσ2[(Subscript[σ, 0]),N2],resultσ[(Subscript[σ, 0]),N],resultNonσ[(Subscript[σ, 0]),N2],resultΩoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],resultNonΩoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N2],resultΩ2Overσ2[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],resultNonΩ2Overσ2[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N2]}/.N->29./.N2->59.,{resultΩ[(Subscript[Ω, 0]),N],resultNonΩ[(Subscript[Ω, 0]),N2],resultσ2[(Subscript[σ, 0]),N],resultNonσ2[(Subscript[σ, 0]),N2],resultσ[(Subscript[σ, 0]),N],resultNonσ[(Subscript[σ, 0]),N2],resultΩoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],resultNonΩoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N2],resultΩ2Overσ2[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],resultNonΩ2Overσ2[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N2]}/.N->9/11 29./.N2->9/11 59.}]]/.(Subscript[Ω, 0])->1.0/.(Subscript[σ, 0])->1.0]/1000.}];
c3 = Flatten[{"N",Transpose[{{N,N2,N,N2,N,N2,N,N2,N,N2}/.N->"29"/.N2->"59",{N,N2,N,N2,N,N2,N,N2,N,N2}/.N->"9/11*29"/.N2->"9/11*59"}]}];
MatrixForm[Transpose[{c0,c1,c2,c3}]]

MatrixForm[Partition[Flatten[Transpose[{{resultΩ[(Subscript[Ω, 0]),N],resultNonΩ[(Subscript[Ω, 0]),N],resultσ2[(Subscript[σ, 0]),N],resultNonσ2[(Subscript[σ, 0]),N],resultσ[(Subscript[σ, 0]),N],resultNonσ[(Subscript[σ, 0]),N],resultΩoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],resultNonΩoverσ[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],resultΩ2Overσ2[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N],resultNonΩ2Overσ2[(Subscript[Ω, 0]),(Subscript[σ, 0]),N]},{"-","-","-","-","-","-","-","-","-","-"}}]],1]]

Theoretical bias of parameters estimates for the stochastic background search

Albert Lazzarini 2004.06.09
revised: 2006.04.18
LIGO-T040128-01-E

Statement of the problem

In estimating the stochastic background parameter, (Subscript[Ω, GW]),  estimates of power spectra and cross-power spectra are calculated using finite stretches of data. Consequently, these estimates necessarily have some level of measurement uncertainty or error associated with them. In the literature of stochastic background estimation with gravitational wave data, it is assumed that noise power spectra and cross-correlation spectra are known  a priori. In practice, these quantities are estimated by suitably averaging periodograms. In considering the effect of these measurement uncertainties on estimation of parameters, it is useful to start from the definitions of spectral estimates and their statistical properties and then to apply these results to the case of stochastic background estimation.

The effect of bias in the point estimate of (Subscript[Ω, measured]) ≡ (Y/T)is derived in detail, providing an example of the technique that can be used to determine bias in any experimental quantity derived in an analysis of cross-correlations looking for evidence of a stochastic GW signal. APPENDIX A provides a compilation of bias effects in other quantities of interest.

Power spectrum estimation and it statistical properties

Consider  time series data streams x[i],y[i] containing NM samples and partitioned into N groups of M samples each. For each partition of M points (of duration T), the discrete Fourier transform (DFT) of the time series data is given by,

(Subscript[X, i])[ℓ] = (∑_(𝓀=1)^M)x[iM + 𝓀](e^(-2π𝕚((𝓀ℓ)/M))) ; i = {0,...,N-1}; ℓ = {1, ...,M}
where i is an index over epoch; ℓ is an index over frequency. Periodogram  estimates of power, cross-power, etc.  follow.

(Subscript[(OverTilde[P]), (Subscript[x, i])])[ℓ] = (2/M)|(Subscript[X, i])[ℓ](|^2); E[(Subscript[(OverTilde[P]), (Subscript[x, i])])[ℓ]] ≡(Subscript[P, x])[ℓ]
Var[(Subscript[(OverTilde[P]), (Subscript[x, i])])[ℓ]] = E[(((Subscript[(OverTilde[P]), (Subscript[x, i])])[ℓ])^2)] - (((Subscript[P, x])[ℓ])^2) = (((Subscript[P, x])[ℓ])^2) ;

For a single instance of a power spectrum estimate or periodogram, the standard deviation equals the mean. In order to obtain suitably precise estimates of power, it is necessary to average a large number of periodograms taken over different epochs.

(Subscript[(OverHat[P]), x])[ℓ] ≡(1/N)(∑_(i=1)^N)(Subscript[(OverTilde[P]), (Subscript[x, i])])[ℓ]  = (2/NM)(∑_(i=1)^N)|(Subscript[X, i])[ℓ](|^2), and
Var[(Subscript[(OverHat[P]), x])[ℓ]] = (1/N)(((Subscript[P, x])[ℓ])^2),

Similar expressions hold for (Subscript[Y, i])[ℓ].

Cross-power spectrum estimation and it statistical properties

Similarly, the cross-power spectrum is given by,

(Subscript[(OverTilde[P]), ixy])[ℓ] = (2/M)(Subscript[X, i]^( * ))[ℓ](Subscript[Y, i])[ℓ] ; E[(Subscript[(OverTilde[P]), ixy])[ℓ]] ≡(Subscript[P, xy])[ℓ]
Var[(Subscript[(OverTilde[P]), ixy])[ℓ]] = E[(Subscript[(OverTilde[|P]), ixy])[ℓ](|^2)] - |(Subscript[P, xy])[ℓ](|^2) = (Subscript[P, x])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ] + |(Subscript[P, xy])[ℓ](|^2).

By averaging over many epochs, an estimate of cross-power is attained,

(Subscript[(OverHat[P]), xy])[ℓ] = (2/NM)(∑_(i=1)^N)(Subscript[X, i]^( * ))[ℓ](Subscript[Y, i])[ℓ] , and
Var[(Subscript[(OverHat[P]), xy])[ℓ]] = (1/N)((Subscript[P, x])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ] + |(Subscript[P, xy])[ℓ](|^2)).

Covariance between power and cross power estimates

Clearly, cross-power spectrum estimates and power spectrum estimates made from the same data set are correlated. The correlation is quantified by considering covariance of variance pairs of measurements,

Cov[(Subscript[(OverHat[P]), xy])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), x])[ℓ]] =E[(Subscript[(OverHat[P]), xy])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), x])[ℓ]] - (Subscript[P, xy])[ℓ](Subscript[P, x])[ℓ] =  (1/N)( (Subscript[P, xy])[ℓ](Subscript[P, x])[ℓ])  and 
Cov[(Subscript[(OverHat[P]), xy])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), y])[ℓ]] =(1/N)( (Subscript[P, xy])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ]).

Covariance between power estimates may be written as,

Cov[(Subscript[(OverTilde[P]), ix])[ℓ](Subscript[(OverTilde[P]), jy])[ℓ]] =E[(Subscript[(OverTilde[P]), ix])[ℓ](Subscript[(OverTilde[P]), jy])[ℓ]] - (Subscript[P, x])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ]  = E[(Subscript[(OverTilde[P]), ix])[ℓ](Subscript[(OverTilde[P]), jy])[ℓ]] - |(Subscript[P, xy])[ℓ](|^2)  + (|(Subscript[P, xy])[ℓ](|^2)  -  (Subscript[P, x])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ] )
= (Subscript[δ, ij])(E[|(Subscript[(OverTilde[P]), ixy])[ℓ](|^2)] - |(Subscript[P, xy])[ℓ](|^2)  + (|(Subscript[P, xy])[ℓ](|^2)  -  (Subscript[P, x])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ] ))
= (Subscript[δ, ij])(Var[(Subscript[(OverTilde[P]), ixy])[ℓ]] + (|(Subscript[P, xy])[ℓ](|^2)  -  (Subscript[P, x])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ] ))
= (Subscript[δ, ij]) 2 |(Subscript[P, xy])[ℓ](|^2)   and,
Cov[(Subscript[(OverHat[P]), x])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), y])[ℓ]] =E[(Subscript[(OverHat[P]), x])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), y])[ℓ]] - (Subscript[P, x])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ]  
= E[(2/NM)(∑_(i=1)^N)|(Subscript[X, i])[ℓ](|^2)(2/NM)(∑_(i=1)^N)|(Subscript[Y, i])[ℓ](|^2)] - |(Subscript[P, xy])[ℓ](|^2)  + (|(Subscript[P, xy])[ℓ](|^2)  -  (Subscript[P, x])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ] )
= E[(1/(N^2))(∑_(i=1)^N)(Subscript[(OverHat[P]), (Subscript[x, i])])[ℓ](∑_(j=1)^N)(Subscript[(OverHat[P]), (Subscript[y, j])])[ℓ] ] -  (Subscript[P, x])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ] 
= (1/(N^2))((Underoverscript[∑ , (i=1), N]) E[(Subscript[(OverHat[P]), (Subscript[x, i])])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), (Subscript[y, i])])[ℓ] ] +(∑_(i≠j=1)^N) E[(Subscript[(OverHat[P]), (Subscript[x, i])])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), (Subscript[y, j])])[ℓ]] )-  (Subscript[P, x])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ]
= (1/(N^2))(2N|(Subscript[P, xy])[ℓ](|^2) + N (Subscript[P, x])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ] + N(N-1)(Subscript[P, x])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ] )-  (Subscript[P, x])[ℓ](Subscript[P, y])[ℓ]
Cov[(Subscript[(OverHat[P]), x])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), y])[ℓ]] == (2/N) |(Subscript[P, xy])[ℓ](|^2)

Application to estimation of bias in E[((Subscript[Y, i])/T)]

CASE A:

Consider first a simplified analysis in which PSDs are estimated from N discrete segments, including the one for which the cross-correlation statistic, (CC),  is also  calculated. For simplicity in tracking the statistics in the analysis, assume further that no coarse graining of overlapping Hann PSD estimation is applied. The inclusion of such details will change the coefficients of the expansion results, but not the conclusions.

Now consider the statistic used in the stochastic background search,
(Subscript[Y, i])/T = (((∑_(ℓ=1)^N)((𝔇[ℓ] (Subscript[(OverTilde[s]), 1]^( * ))[ℓ] (Subscript[(OverTilde[s]), 2])[ℓ])/((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ])))/((∑_(ℓ=1)^N)((𝔊[ℓ] )/((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ])))), where 𝔇[ℓ]  = ((γ[ℓ])/((Subscript[f, ℓ])^3)) and 𝔊[ℓ] =((𝔇[ℓ] )^2) = (((γ^2)[ℓ])/((Subscript[f, ℓ])^6))  are filter functions.  T is the duration of the epoch i, T∝ M.

The quantity being estimate is normalized so that theoretically its mean value is exactly the quantity of interest, (Subscript[Ω, GW]). However, we want to determine the effect of measurement uncertainty in the estimates of power and cross-power. We want to determine E[(Subscript[Y, i])/T ] given that the estimators   (Subscript[(OverTilde[s]), 1]^( * ))[ℓ] (Subscript[(OverTilde[s]), 2])[ℓ]= (M/2)(Subscript[(OverTilde[ P]), i12])[ℓ]  , (Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ]  and (Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] each have statistical fluctuations and correlations among themselves.

To proceed, let  M (Subscript[ℭ, i]) ≡ (∑_(ℓ=1)^N)((𝔇[ℓ] (Subscript[(OverTilde[s]), i1]^( * ))[ℓ] (Subscript[(OverTilde[s]), i2])[ℓ])/((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ])) ,  𝔑 ≡ (1/((∑_(ℓ=1)^N)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ]))))  , then

(Subscript[Y, i])/T = 𝔑 (Subscript[ℭ, i]) . Assume that with sufficient number of averages the fluctuations in the denominators are sufficiently small to allow Taylor series expansion. Now consider first 𝔑,

𝔑 ≡ (1/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ])))) = (1/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ] (1 + ((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])))(Subscript[P, 2])[ℓ] (1 + ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ])))))))
= 1/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ]))× (1 - ((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])) + ((((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ]))))^2)+ ... )×(1 - ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ])) + ((((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ])/((Subscript[P, 2])[ℓ]))))^2)+ ... ))
≈1/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ]))×(1  - (((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ])))/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ])))) -(((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))))/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ])))) +(((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ])((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))))/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ])))) + (((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^3)(Subscript[P, 2])[ℓ])))/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ]))))+  (((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))^2))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^3))))/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ]))))  ) )
≈(1/(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ])))(1  + (((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ])))/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ])))) +(((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))))/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ])))) -(((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ])((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))))/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ])))) + (( (∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ']))(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ])))/((((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ]))))^2)) + (( 2(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ']))(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))))/((((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ]))))^2)) +(( (∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ']))/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))))/((((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ]))))^2)) - (((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^3)(Subscript[P, 2])[ℓ])))/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ])))) - (((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))^2))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^3))))/((∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ]))))) 
Defining  (OverBar[𝔑]) ≡  1/(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[ℓ](Subscript[P, 2])[ℓ]))
𝔑≈  (OverBar[𝔑]) (1  + (OverBar[𝔑])(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ])) +(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) -(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ])((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) + ((OverBar[𝔑])^2)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ']))(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ])) + 2((OverBar[𝔑])^2)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ']))(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) +  ((OverBar[𝔑])^2)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ']))/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) - (OverBar[𝔑]) (∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^3)(Subscript[P, 2])[ℓ]))- (OverBar[𝔑])(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))^2))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^3))))  + O[((((Subscript[(OverHat[P]), i])[ℓ] - (Subscript[P, i])[ℓ]))^3)]

The last equation above is the expansion to second order in power spectrum fluctuations. Next consider the cross-correlation term,

M (Subscript[ℭ, i]) ≡ (∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ] (Subscript[(OverTilde[s]), i1]^( * ))[ℓ] (Subscript[(OverTilde[s]), i2])[ℓ])/((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ](Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ])).

Following the approach above, define (OverBar[(Subscript[ℭ, i])]) ≡(1/2) (∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ] (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ])), then  express (Subscript[ℭ, i]) as an expansion,

(Subscript[ℭ, i]) ≡ (1/2)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ](1 + ((((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ]))/((Subscript[P, i12])[ℓ]))))/((Subscript[P, 1])[ℓ] (1 + ((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])))(Subscript[P, 2])[ℓ] (1 + ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ])))))
(Subscript[ℭ, i]) = (1/2)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))×(1 + ((((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ]))/((Subscript[P, 12])[ℓ])))×(1 - ((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])) + (((((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ]))))^2) + ... )×(1 - ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ])) + (((((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))))^2) + ... )
(Subscript[ℭ, i]) ≈ (1/2)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))×(1 + ((((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ]))/((Subscript[P, i12])[ℓ]))- ((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])) - ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))+ (((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])))(((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))) +  (((((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ]))))^2) + (((((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))))^2)  -  ((((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ]))/((Subscript[P, 12])[ℓ]))((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])) -  ((((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ]))/((Subscript[P, 12])[ℓ]))((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))) +  O[((((Subscript[(OverHat[P]), i])[ℓ] - (Subscript[P, i])[ℓ]))^3)]

Combining the expansions leads to,
(Subscript[Y, i])/T  ≈ (OverBar[𝔑])((1/2)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))×(1 + ((((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ]))/((Subscript[P, 12])[ℓ]))- ((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])) - ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))+ (((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])))(((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))) +  (((((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ]))))^2) + (((((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))))^2)  -  ((((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ]))/((Subscript[P, 12])[ℓ]))((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])) -  ((((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ]))/((Subscript[P, 12])[ℓ]))((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))))  ×(1  + (OverBar[𝔑])(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ])) +(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) -(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ])((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) + ((OverBar[𝔑])^2)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ']))(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ])) + 2((OverBar[𝔑])^2)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ']))(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) +  ((OverBar[𝔑])^2)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ']))/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) - (OverBar[𝔑]) (∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^3)(Subscript[P, 2])[ℓ]))- (OverBar[𝔑])(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))^2))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^3))))

Keeping terms to second order in products and cross-products of ((Subscript[(OverHat[P]), i])[ℓ'] - (Subscript[P, i])[ℓ'])((Subscript[(OverHat[P]), j])[ℓ] - (Subscript[P, j])[ℓ]), we get,

(Subscript[Y, i])/T    = (OverBar[𝔑])(1/2)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))× (1 + ((OverBar[𝔑])^2)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ']))(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ])) + 2((OverBar[𝔑])^2)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ']))(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) +  ((OverBar[𝔑])^2)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ']))/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ](((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) +(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ']))- (OverBar[𝔑]) (∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^3)(Subscript[P, 2])[ℓ']))-(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ'])((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ']))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))+(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ']))/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2))) - (OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ']))^2))/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^3)))+  ((((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ]))/((Subscript[P, 12])[ℓ]))- ((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])) - ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))+ 
((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ]))((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ])) +(((((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ]))))^2) + (((((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))))^2)  -  ((((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ]))/((Subscript[P, 12])[ℓ]))((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])) -  ((((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ]))/((Subscript[P, 12])[ℓ]))((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))  + (OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ']))((((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ]))/((Subscript[P, 12])[ℓ])) + (OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ']))/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))((((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ]))/((Subscript[P, 12])[ℓ]))- (OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ']))((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ]))-(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ'])) ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))   - (OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ']))/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])) -(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ']))/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2))) ((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))  )

Next apply the expectation operator, E[...], to the fluctuating quantities,

E[(Subscript[Y, i])/T ]   = (OverBar[𝔑])(OverBar[(Subscript[ℭ, i])])  ×(1 +  ((OverBar[𝔑])^2)(∑_(ℓ',ℓ''=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2)((𝔇[ℓ''])^2) E[((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']) ((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ''] - (Subscript[P, 1])[ℓ''])])/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ'](Subscript[P, 2])[ℓ''](((Subscript[P, 1])[ℓ''])^2))) +  2((OverBar[𝔑])^2)(∑_(ℓ',ℓ''=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2)((𝔇[ℓ''])^2) E[((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ''] - (Subscript[P, 2])[ℓ''])])/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ'](Subscript[P, 1])[ℓ''](((Subscript[P, 2])[ℓ''])^2))) + ((OverBar[𝔑])^2)(∑_(ℓ',ℓ''=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2)((𝔇[ℓ''])^2) E[((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ']) ((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ''] - (Subscript[P, 2])[ℓ''])])/((((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 1])[ℓ'](Subscript[P, 1])[ℓ''](((Subscript[P, 2])[ℓ''])^2))) +(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) E[((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ'])])/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ']))- (OverBar[𝔑]) (∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) E[((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ']))^2)])/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^3)(Subscript[P, 2])[ℓ']))-(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) E[((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ'])((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ'])])/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))+(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) E[((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ'])])/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2))) - (OverBar[𝔑])(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) E[((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ']))^2)])/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^3)))) + 
 (OverBar[𝔑])((1/2)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]E[((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ])])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ](Subscript[P, 12])[ℓ])) - (1/2)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]E[((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ])])/((((Subscript[P, 1])[ℓ] )^2)(Subscript[P, 2])[ℓ])) - (1/2)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]E[((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ])])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (((Subscript[P, 2])[ℓ])^2)))+ 
(1/2)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]E[((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ])((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ])])/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2) (((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) +(1/2)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]E[((((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ]))^2)])/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^3) (Subscript[P, 2])[ℓ])) + (1/2)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]E[((((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ]))^2)])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (((Subscript[P, 2])[ℓ])^3)))  - (1/2)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]E[((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ])((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ])])/((((Subscript[P, 1])[ℓ] )^2)(Subscript[P, 2])[ℓ](Subscript[P, 12])[ℓ]))  -  (1/2)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]E[((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ])((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ])])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (((Subscript[P, 2])[ℓ])^2)(Subscript[P, 12])[ℓ]))  + (OverBar[𝔑])(1/2)(∑_(ℓ,ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) 𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]E[((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ'])((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ])])/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ'](Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ](Subscript[P, 12])[ℓ])) + (OverBar[𝔑])(1/2)(∑_(ℓ,ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) 𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]E[((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ'])((Subscript[(OverTilde[P]), i12])[ℓ] - (Subscript[P, 12])[ℓ])])/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ](Subscript[P, 12])[ℓ]))- (OverBar[𝔑])(1/2)(∑_(ℓ,ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) 𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]E[((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ'])((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ])])/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ'](((Subscript[P, 1])[ℓ])^2) (Subscript[P, 2])[ℓ]))-(OverBar[𝔑])(1/2)(∑_(ℓ,ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2)𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ] E[((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ'] - (Subscript[P, 1])[ℓ'])((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ])])/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 2])[ℓ'](Subscript[P, 1])[ℓ] (((Subscript[P, 2])[ℓ])^2)))    - (OverBar[𝔑])(1/2)(∑_(ℓ,ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) 𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]E[((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ'])((Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ] - (Subscript[P, 1])[ℓ])])/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 1])[ℓ])^2) (Subscript[P, 2])[ℓ])) -(OverBar[𝔑])(1/2)(∑_(ℓ,ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2)𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ] E[((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ'] - (Subscript[P, 2])[ℓ'])((Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] - (Subscript[P, 2])[ℓ])])/((Subscript[P, 1])[ℓ'](((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)(Subscript[P, 1])[ℓ] (((Subscript[P, 2])[ℓ])^2)))  )

All quantities E[...] can be evaluated by referring to the variance and covariance properties of power and cross-power spectrum estimates given earlier. Odd order estimates are identically zero for Gaussian random variables.

E[(Subscript[Y, i])/T ]    = (OverBar[𝔑])(OverBar[(Subscript[ℭ, i])])  ×(1 + 2((OverBar[𝔑])^2)(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^4)  |(Subscript[P, 12])[ℓ']((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^3))) +  ((OverBar[𝔑])^2)(1/N)(∑_(ℓ'=1)^M)(((𝔇[ℓ'])^4)/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2))) + ((OverBar[𝔑])^2)(1/N)(∑_(ℓ'=1)^M)(((𝔇[ℓ'])^4)/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))+0- (OverBar[𝔑]) (1/N)(∑_(ℓ'=1)^M)(((𝔇[ℓ'])^2)/((Subscript[P, 1])[ℓ'](Subscript[P, 2])[ℓ']))-(OverBar[𝔑])(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) (((Subscript[P, 12])[ℓ'])^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))+0 - (OverBar[𝔑])(1/N)(∑_(ℓ'=1)^M)(((𝔇[ℓ'])^2)/((Subscript[P, 1])[ℓ'](Subscript[P, 2])[ℓ']))) + 
 (OverBar[𝔑])(0 - 0 - 0 + (1/2)(2/N)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]|(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2) (((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) +(1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ] (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ])) + (1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))  - (1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))  -  (1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))  + (OverBar[𝔑])(1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)(Subscript[P, 12])[ℓ])/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) + (OverBar[𝔑])(1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)(Subscript[P, 12])[ℓ])/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2)))- (OverBar[𝔑])(1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)  (Subscript[P, 12])[ℓ])/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2)))-(OverBar[𝔑])(1/2)(2/N)(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)  (Subscript[P, 12])[ℓ] |(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^3)))    - (OverBar[𝔑])(1/2)(2/N)(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)  (Subscript[P, 12])[ℓ] |(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^3))) -(OverBar[𝔑])(1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)  (Subscript[P, 12])[ℓ])/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2)))  )

E[(Subscript[Y, i])/T ]   = (OverBar[𝔑])(OverBar[(Subscript[ℭ, i])])  ×(1  - (2/N)+ 2((OverBar[𝔑])^2)(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^4)  (((Subscript[P, 12])[ℓ'])^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^3))) +  ((OverBar[𝔑])^2)(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)(((𝔇[ℓ'])^4)/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2))) - (OverBar[𝔑])(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) (((Subscript[P, 12])[ℓ'])^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))) + 
 (OverBar[𝔑])( (1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]|(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2) (((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) -(OverBar[𝔑])(2/N)(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)  (Subscript[P, 12])[ℓ] |(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^3)))  )

Finally, we get the following for the bias in the estimate (Subscript[Ω, GW]) = (Subscript[Y, i])/T,

Bias[(Subscript[Y, i])/T ]  = E[(Subscript[Y, i])/T ]  -  (OverBar[𝔑])(OverBar[(Subscript[ℭ, i])])   =  (OverBar[𝔑])(OverBar[(Subscript[ℭ, i])])  ×( - (2/N)+ 2((OverBar[𝔑])^2)(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^4)  (((Subscript[P, 12])[ℓ'])^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^3)))  + ((OverBar[𝔑])^2)(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)(((𝔇[ℓ'])^4)/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2))) -(OverBar[ 𝔑])(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) (((Subscript[P, 12])[ℓ'])^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))) + 
 (OverBar[𝔑])(1/N)((∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]|(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2) (((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) -2(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)  (Subscript[P, 12])[ℓ] |(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^3))))

This result corresponds to the case where the estimates  (Subscript[(OverHat[P]), 1])[ℓ]  and (Subscript[(OverHat[P]), 2])[ℓ] were made including the  epoch i for which (Subscript[Y, i]) is being calculated.  We see that the leading term in the bias is 2/N,plus a number of other terms involving the details of the spectrum. Thus even when (Subscript[P, 12])[ℓ] → 0, the bias remains.

Referring to the earlier expression for (Subscript[ℭ, i]),  E[(Subscript[ℭ, i])] ≈ (OverBar[(Subscript[ℭ, i])]) + (1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]|(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2) (((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) . This expression
has a bias that depends on <signal((>)^3), and therefore is much smaller for weak signals.  This corresponds to our earlier observation that (Subscript[ℭ, i]) ∝((Y/T)/(σ^2)) had much less bias.

The limiting case of noiseless injection for the H1-H2 pair gives: (Subscript[P, 12])[ℓ]  = (Subscript[P, 1])[ℓ] = (Subscript[P, 2])[ℓ]  = 𝔇[ℓ] . Further,  all sums ⟶ M. Also (OverBar[𝔑])(OverBar[(Subscript[ℭ, i])]) = 1 (for unity injected strength), (OverBar[𝔑]) = (1/M) ; (OverBar[(Subscript[ℭ, i])]) = M. In this case, 
Bias[(Subscript[Y, i])/T ]  = E[(Subscript[Y, i])/T ]  -  (OverBar[𝔑])(OverBar[(Subscript[ℭ, i])])   =  1  ×( - (2/N)+ (6/MN)   -(2/N)) + (1/N)(1 -(2/M)) = - (3/N) + (4/NM)⟶ - (3/N) + O[(1/M)], which is what has been observed via Monte Carlo injections.

CASE B:

Consider next another simplified analysis in which PSDs are estimated from N discrete segments, but now these exclude the segment for which the cross-correlation statistic, (CC),  is  calculated. Once again, for simplicity in tracking the statistics in the analysis, assume further that no coarse graining of overlapping Hann PSD estimation is applied. The inclusion of such details will change the coefficients of the expansion results, but not the conclusions.

In the case where the epoch i is not included, a number of terms from Case A are now zero. The answer becomes,
E[(Subscript[Y, i])/T ]    = (OverBar[𝔑])(OverBar[(Subscript[ℭ, i])])  ×(1 + 2((OverBar[𝔑])^2)(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^4)  |(Subscript[P, 12])[ℓ']((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^3))) +  ((OverBar[𝔑])^2)(1/N)(∑_(ℓ'=1)^M)(((𝔇[ℓ'])^4)/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2))) + ((OverBar[𝔑])^2)(1/N)(∑_(ℓ'=1)^M)(((𝔇[ℓ'])^4)/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))+0- (OverBar[𝔑]) (1/N)(∑_(ℓ'=1)^M)(((𝔇[ℓ'])^2)/((Subscript[P, 1])[ℓ'](Subscript[P, 2])[ℓ']))-(OverBar[𝔑])(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) (((Subscript[P, 12])[ℓ'])^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))+0 - (OverBar[𝔑])(1/N)(∑_(ℓ'=1)^M)(((𝔇[ℓ'])^2)/((Subscript[P, 1])[ℓ'](Subscript[P, 2])[ℓ']))) + 
 (OverBar[𝔑])(0 - 0 - 0 + (1/2)(2/N)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]|(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2) (((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) +(1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ] (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ])) + (1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))  - (1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ] (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))  -  (1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ] (Subscript[P, 12])[ℓ])/((Subscript[P, 1])[ℓ] (Subscript[P, 2])[ℓ]))  + (OverBar[𝔑])(1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)(Subscript[P, 12])[ℓ])/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) + (OverBar[𝔑])(1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)(Subscript[P, 12])[ℓ])/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2)))- (OverBar[𝔑])(1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)  (Subscript[P, 12])[ℓ])/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2)))-(OverBar[𝔑])(1/2)(2/N)(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)  (Subscript[P, 12])[ℓ] |(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^3)))    - (OverBar[𝔑])(1/2)(2/N)(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)  (Subscript[P, 12])[ℓ] |(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^3))) -(OverBar[𝔑])(1/2)(1/N)(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)  (Subscript[P, 12])[ℓ])/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2)))  )
E[(Subscript[Y, i])/T ]    = (OverBar[𝔑])(OverBar[(Subscript[ℭ, i])])  ×(1  - (2/N)+ 2((OverBar[𝔑])^2)(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^4)  (((Subscript[P, 12])[ℓ'])^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^3))) + ((OverBar[𝔑])^2)(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)(((𝔇[ℓ'])^4)/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))+ -(OverBar[𝔑])(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) (((Subscript[P, 12])[ℓ'])^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))) + 
 (OverBar[𝔑])(1/N)(2(OverBar[(Subscript[ℭ, i])])+  (∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]|(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2) (((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) -(OverBar[2𝔑])(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)  (Subscript[P, 12])[ℓ] |(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^3)))   + ((OverBar[𝔑])^2)(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)(((𝔇[ℓ'])^4)/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2))) -  (OverBar[𝔑])(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)  (Subscript[P, 12])[ℓ])/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))))

Bias[(Subscript[Y, i])/T ]  = E[(Subscript[Y, i])/T ]  -  (OverBar[𝔑])(OverBar[(Subscript[ℭ, i])])   =  (OverBar[𝔑])(OverBar[(Subscript[ℭ, i])])  ×(  2((OverBar[𝔑])^2)(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^4)  (((Subscript[P, 12])[ℓ'])^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^3))) + ((OverBar[𝔑])^2)(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)(((𝔇[ℓ'])^4)/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2))) - (OverBar[𝔑])(2/N)(∑_(ℓ'=1)^M)((((𝔇[ℓ'])^2) (((Subscript[P, 12])[ℓ'])^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ'])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ'])^2)))) + 
 (OverBar[𝔑])(1/N)((∑_(ℓ=1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ]|(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2) (((Subscript[P, 2])[ℓ])^2))) -2(OverBar[𝔑])(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3)  (Subscript[P, 12])[ℓ] |(Subscript[P, 12])[ℓ]((|)^2))/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^3)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^3)))    - (OverBar[𝔑])(∑_(ℓ=1)^M)((((𝔇[ℓ] )^3) (Subscript[P, 12])[ℓ])/((((Subscript[P, 1])[ℓ])^2)(((Subscript[P, 2])[ℓ])^2)))  ),

It is seen that by excluding epoch i from the estimation of power spectra,the leading  2/N term from the earlier expression is cancelled by an equal and opposite term that was not present before. Now all remaining bias correction terms are proportional to either (Subscript[P, 12])[ℓ]  and thus become negligible if (Subscript[P, 12])[ℓ] → 0, or they are proportional to  ((OverBar[𝔑])^2), which also reduces them to the point where they can be ignored. Note however, that there remains a bias correction when a signal is present and if that signal is large compared to the detector power spectra.

In the limiting case of noiseless injection for the H1-H2 pair: (Subscript[P, 12])[ℓ]  = (Subscript[P, 1])[ℓ] = (Subscript[P, 2])[ℓ]  = 𝔇[ℓ] , and all sums ⟶ M. Also (OverBar[𝔑])(OverBar[(Subscript[ℭ, i])]) = 1 (for unity injected strength), (OverBar[𝔑]) = (1/M) ; (OverBar[(Subscript[ℭ, i])]) = M :
Bias[(Subscript[Y, i])/T ]  = E[(Subscript[Y, i])/T ]  -  (OverBar[𝔑])(OverBar[(Subscript[ℭ, i])])   =  1  ×( (6/MN)   -(2/N)) + (1/N)(1 -(2/M)) = - (1/N) + (4/NM)⟶ - (1/N) + O[(1/M)], This test has now been performed via Monte Carlo injections and the bias for this case is indeed observed at a strength that is 1/3 the bias for  Case A above.

Conclusions

It has been shown that the source of bias seen in the extraction of injected signal strength using the estimator for (Subscript[Ω, GW]) can be understood as coming from two contributions: estimation errors in the power and cross-power spectra and, in Case A, correlations that persist between power and cross-power spectra measured with the same data set. By suitably excluding the epoch for which cross-correlation is measured from the data with which power spectra are estimated, the residual bias can then be made proportional to signal strength. Thus, unless and until we are in a regime where the detector power spectra are signal-dominated, the residual bias is not an issue.

The effects discussed here are intrinsic to the use of measured estimates in the place of theoretical quantities in expression for optimal signal filters. Moreover, the effects may be exacerbated by the non-linear manner (e.g., 1/P) in which the measured quantities are used in constructing filters and normalization factors. In any such application, care must be taken to understand and analyze the sources of bias to determine how to minimize them to an acceptable level that does not affect the answer. Places where similar bias effects may be present and non-negligible are transfer function estimates and ratios of spectra or derived quantities, such as those used to determine calibrations. Of course, optimal filters used in other GW searches may also be affected by bias such as that discussed in this note.

APPENDIX A.
Evaluation of bias in other quantities of interest in the stochastic search

Thetechniqueusedabovecanbeappliedtoallotherquantitiesofinteresttothestochasticsearch. Below,expressions  for   σ,(σ^2),(Ω/σ),and((((Ω/σ)))^2)aregiven.Thederivationsareomittedsincetheyfollowstraightforwardly,buttediously,byapplyingthesamemethodtothestartingexpressions.Inthenotationusedbelow,(OverTilde[ϵZ])≡Z-(OverBar[(OverBar[Z])])<<(OverBar[Z]),isthefluctuatingpartofthemeasuredquantityZand<(OverTilde[ϵZ])>=0.Zisoneofthequantities(Subscript[P, 1,2])or(Subscript[P, 12]).Thecasewhereestimatesof(Subscript[P, 1,2])do not include the epoch during which (Subscript[P, 12])is estimated will be denoted as non-overlapping throughout the discussion below;the other case,when measurements of(Subscript[P, 1,2])doincludethesameepochwhen(Subscript[P, 12])is estimated will be denoted as overlapping.

Standard deviations σ and variance (σ^2)

(Subscript[σ, measured]) = (Sqrt[⟨(1/((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 +  ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 +  ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ])))))))⟩])

Which,tofirstorderin1/N,evaluatesto (Subscript[σ, measured])≈(Subscript[σ, true])(1-(1/N))
for both the case of overlapping and non-overlapping estimations of the power and cross-power spectra.

Averaged point estimates, (OverBar[Y]) = (((∑_(i=1)^K)(1/(Subscript[σ, i]^2))(Subscript[Y, i]))/((∑_(i=1)^K)(1/(Subscript[σ, i]^2))))

(Subscript[(OverBar[Y]), measured]) = (1/2)⟨(((∑_(i=1)^K)(  (∑_(ℓ = 1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, i12])[ℓ](1 +δ ((((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[ℓ]))/((Subscript[P, i12])[ℓ]))))/((Subscript[P, i1])[ℓ] (1 + ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[ℓ]))/((Subscript[P, i1])[ℓ])))(Subscript[P, i2])[ℓ] (1 + ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[ℓ]))/((Subscript[P, i2])[ℓ]))))) ))/((∑_(i=1)^K)((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, i1])[μ] (1 +  ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), i1])[μ]))/((Subscript[P, i1])[μ])))(Subscript[P, i2])[μ] (1 +  ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), i2])[μ]))/((Subscript[P, i2])[μ]))))))))⟩

Which,tofirstorderin1/N,evaluatesto (Subscript[(OverBar[Y]), measured])≈(Subscript[(OverBar[Y]), true])(1-(2/N))
for the case of overlapping and  (Subscript[(OverBar[Y]), measured])≈(Subscript[(OverBar[Y]), true]) for non-overlapping estimations of the power and cross-power spectra.

Variances (σ^2) and normalization of Y, 𝒩 ∝ (σ^2)

(Subscript[(σ^2), measured]) = ⟨(1/((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 +  ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 +  ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ])))))))⟩

Which,tofirstorderin1/N,evaluatesto (Subscript[(σ^2), measured])≈(Subscript[(σ^2), true])(1-(2/N))
for both the case of overlapping and non-overlapping estimations of the power and cross-power spectra.

Normalized deviates (Ω/σ)

((Subscript[(Ω/σ)), measured]) = ⟨(1/2)(((∑_(ℓ = 1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ](1 + ((((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[ℓ]))/((Subscript[P, i12])[ℓ]))))/((Subscript[P, 1])[ℓ] (1 + ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[ℓ]))/((Subscript[P, 1])[ℓ])))(Subscript[P, 2])[ℓ] (1 + ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))))))/(Sqrt[(∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 +  ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 +  ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ])))))]))  ⟩

Which,to first order in1/N,evaluates to ((Subscript[(Ω/σ)), measured])≈((Subscript[(Ω/σ)), true])(1-(1/N))
for the case of overlapping and  ((Subscript[(Ω/σ)), measured])≈((Subscript[(Ω/σ)), true])(1+(1/N)) for non-overlapping estimations of the power and cross-power spectra.

Variance of deviates ((((Ω/σ)))^2)

((Subscript[(Ω/σ)), measured]^2) = ⟨(1/4)(((∑_(λ = 1)^M)((𝔇[λ]  (Subscript[P, 12])[λ](1 + ((((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[λ]))/((Subscript[P, i12])[λ]))))/((Subscript[P, 1])[λ] (1 + ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[λ]))/((Subscript[P, 1])[λ])))(Subscript[P, 2])[λ] (1 + ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[λ]))/((Subscript[P, 2])[λ])))))(∑_(ℓ = 1)^M)((𝔇[ℓ]  (Subscript[P, 12])[ℓ](1 + ((((Subscript[(OverTilde[ϵP]), i12])[ℓ]))/((Subscript[P, i12])[ℓ]))))/((Subscript[P, 1])[ℓ] (1 + ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[ℓ] ))/((Subscript[P, 1])[ℓ])))(Subscript[P, 2])[ℓ] (1 + ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[ℓ]))/((Subscript[P, 2])[ℓ]))))))/((∑_(μ=1)^M)((((𝔇[μ] )^2) )/((Subscript[P, 1])[μ] (1 +  ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 1])[μ]))/((Subscript[P, 1])[μ])))(Subscript[P, 2])[μ] (1 +  ((((Subscript[(OverHat[ϵP]), 2])[μ]))/((Subscript[P, 2])[μ])))))))     ⟩

Which,to first order in1/N,evaluates to ((Subscript[(Ω/σ)), measured]^2)≈((Subscript[(Ω/σ)), true]^2)( 1 - (2/N)) + (1/N)
for the case of overlapping and  ((Subscript[(Ω/σ)), measured]^2)≈((Subscript[(Ω/σ)), true]^2)( 1 + (2/N)) + (2/N)
for non-overlapping estimations of the power and cross-power spectra.

References

Bendat and Piersol, Random Data: Analysis and Measurement Procedures, Wiley-Interscience, New York, 1971.
Press, Teukolsky, Vettering, and Flannery, Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, Cambridge, UK 1999.
Newland, An Introduction to Random Vibrations, Spectral & Wavelet Analysis, (3^rd) Ed., Longman Singapore Publishers, Singapore, 1994.

Theoretical bias of range estimate for the inspiral search

ρ[t] ∼ ((∫(((SuperStar[s])(f)T(f))/(P(f)))(e^(2π i f t))df)/(Sqrt[∫((|T(f)((|)^2))/(P(f)))df])) ; (σ^2) = ∫((|T(f)((|)^2))/(P(f)))df ;  and
(1/((Subscript[D, eff])^2)) = ((∫(((SuperStar[s])(f)T(f))/(P(f)))(e^(2π i f t))df∫((s(f')(SuperStar[T])(f'))/(P(f)))(e^(-2π i f' t))df')/(∫((|T(f)((|)^2))/(P(f)))df∫((|T(f')((|)^2))/(P(f')))df'))

X = Normal[Series[(((∑_(k=1)^M)(((T[k] /(Subscript[D, 0])+ (OverTilde[n])[k])Tc[k])/(P[k](1 + δ p[k])))(∑_(j=1)^M)(((Tc[j]/(Subscript[D, 0])  + (OverTilde[nc])[j] )T[j])/(P[j](1 + δ p[j]))))/((∑_(μ=1)^M)((T[μ]Tc[μ])/(P[μ](1 + δ p[μ])))(∑_(λ=1)^M)((T[λ]Tc[λ])/(P[λ](1 + δ p[λ]))))),{δ,0,2}]]

num = ((∑_(k=1)^M)((∑_(j=1)^M)(((T[j] (((Tc[j])/(Subscript[D, 0]))+(OverTilde[ϵ nc])[j]))/(P[j]))-((δ p[j] T[j] (((Tc[j])/(Subscript[D, 0]))+ϵ(OverTilde[nc])[j]))/(P[j]))+(((δ^2) ((p[j])^2) T[j] (((Tc[j])/(Subscript[D, 0]))+(OverTilde[ϵ nc])[j]))/(P[j])))) (((Tc[k] (((T[k])/(Subscript[D, 0]))+ϵ (OverTilde[n])[k]))/(P[k]))-((δ p[k] Tc[k] (((T[k])/(Subscript[D, 0]))+ ϵ(OverTilde[n])[k]))/(P[k]))+(((δ^2) ((p[k])^2) Tc[k] (((T[k])/(Subscript[D, 0]))+ϵ(OverTilde[n])[k]))/(P[k]))));
Collect[Normal[Series[Expand[(((T[j] (((Tc[j])/(Subscript[D, 0]))+ϵ(OverTilde[nc])[j]))/(P[j]))-((δ p[j] T[j] (((Tc[j])/(Subscript[D, 0]))+ϵ(OverTilde[nc])[j]))/(P[j]))+(((δ^2) ((p[j])^2) T[j] (((Tc[j])/(Subscript[D, 0]))+ϵ(OverTilde[nc])[j]))/(P[j])))(((Tc[k] (((T[k])/(Subscript[D, 0]))+ϵ (OverTilde[n])[k]))/(P[k]))-((δ p[k] Tc[k] (((T[k])/(Subscript[D, 0]))+ϵ (OverTilde[n])[k]))/(P[k]))+(((δ^2) ((p[k])^2) Tc[k] (((T[k])/(Subscript[D, 0]))+ϵ(OverTilde[n])[k]))/(P[k])))],{δ,0,2},{ϵ,0,2}]],{(δ^(_:1)) (ϵ^(_:1)),(ϵ^(_:1)),(δ^(_:1))}]

num=(∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)((T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))+(∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j] ))+δ ((∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)(-((p[j] T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))-((p[k] T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))) + (∑_(j=1)^M)(-2((p[j] T[j] Tc[j] )/(P[j] ))))+(δ^2) ((∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)(((((p[j])^2) T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))+((p[j] p[k] T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))+((((p[k])^2) T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))) + (∑_(j=1)^M)(3((((p[j])^2) T[j] Tc[j] )/(P[j] ))))

den = ((∑_(μ=1)^M)((∑_(λ=1)^M)(((T[λ] Tc[λ])/(P[λ]))-((δ p[λ] T[λ] Tc[λ])/(P[λ]))+(((δ^2) ((p[λ])^2) T[λ] Tc[λ])/(P[λ])))) (((T[μ] Tc[μ])/(P[μ]))-((δ p[μ] T[μ] Tc[μ])/(P[μ]))+(((δ^2) ((p[μ])^2) T[μ] Tc[μ])/(P[μ]))));
Normal[Series[Expand[(((T[λ] Tc[λ])/(P[λ]))-((δ p[λ] T[λ] Tc[λ])/(P[λ]))+(((δ^2) ((p[λ])^2) T[λ] Tc[λ])/(P[λ]))) (((T[μ] Tc[μ])/(P[μ]))-((δ p[μ] T[μ] Tc[μ])/(P[μ]))+(((δ^2) ((p[μ])^2) T[μ] Tc[μ])/(P[μ])))],{δ,0,2}]]

den = (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+δ (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M) (-((p[λ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))-((p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ])))+(δ^2) (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M) (((((p[λ])^2) T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+((p[λ] p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+((((p[μ])^2) T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ])))

A = (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]));
B = (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(-((p[λ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))-((p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ])));
C1 = (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(((((p[λ])^2) T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+((p[λ] p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+((((p[μ])^2) T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ])));

den = Normal[Series[1/(a+δ b+(δ^2) c),{δ,0,2}]]/.a->A/.b->B/.c->C1

expr = Collect[Expand[num den],δ]

(((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j])))/((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))+(((∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)((T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2))))/((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))+(δ^2) ((((∑_(j=1)^M)((3 ((p[j])^2) T[j] Tc[j])/(P[j])))/((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))+((∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)(((((p[j])^2) T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))+((p[j] p[k] T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))+((((p[k])^2) T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))))/((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ])))-(((∑_(j=1)^M)-((2 p[j] T[j] Tc[j])/(P[j]))) (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(-((p[λ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))-((p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))/((((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))^2)-(((∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)(-((p[j] T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))-((p[k] T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2))))) (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(-((p[λ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))-((p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))/((((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))^2)+(((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))) ((((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(-((p[λ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))-((p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ])))))^2))/((((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))^3)+(((∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)((T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))) ((((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(-((p[λ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))-((p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ])))))^2))/((((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))^3)-(((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))) (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(((((p[λ])^2) T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+((p[λ] p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+((((p[μ])^2) T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))/((((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))^2)-(((∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)((T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))) (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(((((p[λ])^2) T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+((p[λ] p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+((((p[μ])^2) T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))/((((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))^2))

(((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j])))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2))+(((∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)((T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2))))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2))+(δ^2) ((((∑_(j=1)^M)((3 ((p[j])^2) T[j] Tc[j])/(P[j])))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2))+((∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)(((((p[j])^2) T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))+((p[j] p[k] T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))+((((p[k])^2) T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2)-(((∑_(j=1)^M)-((2 p[j] T[j] Tc[j])/(P[j]))) (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(-((p[λ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))-((p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4)-(((∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)(-((p[j] T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))-((p[k] T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2))))) (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(-((p[λ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))-((p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4)+(((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))) ((((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(-((p[λ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))-((p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ])))))^2))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^6)+(((∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)((T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))) ((((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(-((p[λ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))-((p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ])))))^2))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^6)-(((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))) (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(((((p[λ])^2) T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+((p[λ] p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+((((p[μ])^2) T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))/((((∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))^2)-(((∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)((T[j] T[k] Tc[j] Tc[k])/(P[j] P[k] (Subscript[D, 0]^2)))) (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(((((p[λ])^2) T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+((p[λ] p[μ] T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+((((p[μ])^2) T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4))

(1/((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))+(1/(Subscript[D, 0]^2))+ ((3/K)(1/((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))+(2/(K (Subscript[D, 0]^2)))+(1/(K (Subscript[D, 0]^2)))(((∑_(j=1)^M)((  ((T[j])^2) ((Tc[j])^2))/(((P[j])^2) )))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2))-(4/K)(((∑_(j=1)^M) ((((T[j])^2)  ((Tc[j])^2) )/((P[j])^2)))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^3))-(((4/K)(∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)(∑_(μ=1)^M)((T[j] T[k] T[j] T[μ] Tc[j] Tc[k] Tc[j] Tc[μ])/(P[j] P[k] P[j] P[μ] (Subscript[D, 0]^2))))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4))+((2/K)(∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((T[μ])^2) ((Tc[λ])^2) ((Tc[μ])^2))/(((P[λ])^2) ((P[μ])^2)))+(2/K)(∑_(μ=1)^M)(( ((T[μ])^2) ((T[μ])^2) ((Tc[μ])^2) ((Tc[μ])^2))/((P[λ])^4)))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^5)+(1/(Subscript[D, 0]^2))((2/K)(∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((T[μ])^2) ((Tc[λ])^2) ((Tc[μ])^2))/(((P[λ])^2) ((P[μ])^2)))+(2/K)(∑_(μ=1)^M)(( ((T[μ])^2) ((T[μ])^2) ((Tc[μ])^2) ((Tc[μ])^2))/((P[λ])^4)))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4)-(1/(Subscript[D, 0]^2))( ((2/K)(∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)(( T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ]))+(1/K)(∑_(μ=1)^M)(( T[μ] T[μ] Tc[μ] Tc[μ])/((P[μ])^2))))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2)-(2/K)1/((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j])))-(1/K)( (∑_(λ=1)^M)((( T[λ] T[λ] Tc[λ] Tc[λ])/(((P[λ])^2) ))))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^3))

Simplify[(1/(Subscript[D, 0]^2))+(2/(K (Subscript[D, 0]^2)))+(1/((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))+(1/(K (∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))-((4 (∑_(j=1)^M)((((T[j])^2) ((Tc[j])^2))/((P[j])^2)))/(K ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^3)))+(((∑_(j=1)^M)((((T[j])^2) ((Tc[j])^2))/((P[j])^2)))/(K (Subscript[D, 0]^2) ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2)))-(((∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((Tc[λ])^2))/((P[λ])^2)))/(K ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^3)))-(((((∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^2) ((Tc[μ])^2))/((P[μ])^2)))/K)+((2 (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ])))/K))/((Subscript[D, 0]^2) ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2)))+((((2 (∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^4) ((Tc[μ])^4))/((P[λ])^4)))/K)+((2 (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((T[μ])^2) ((Tc[λ])^2) ((Tc[μ])^2))/(((P[λ])^2) ((P[μ])^2))))/K))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^5))+((((2 (∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^4) ((Tc[μ])^4))/((P[λ])^4)))/K)+((2 (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((T[μ])^2) ((Tc[λ])^2) ((Tc[μ])^2))/(((P[λ])^2) ((P[μ])^2))))/K))/((Subscript[D, 0]^2) ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4)))-((4 (∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)(∑_(μ=1)^M)((((T[j])^2) T[k] T[μ] ((Tc[j])^2) Tc[k] Tc[μ])/(((P[j])^2) P[k] P[μ] (Subscript[D, 0]^2))))/(K ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4)))]

(1/(K (Subscript[D, 0]^2) ))(((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))) ((2+K) ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4)+((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2) ((∑_(j=1)^M)((((T[j])^2) ((Tc[j])^2))/((P[j])^2))-(∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^2) ((Tc[μ])^2))/((P[μ])^2))-2 (∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((T[λ] T[μ] Tc[λ] Tc[μ])/(P[λ] P[μ])))+2 ((∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^4) ((Tc[μ])^4))/((P[λ])^4))+(∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((T[μ])^2) ((Tc[λ])^2) ((Tc[μ])^2))/(((P[λ])^2) ((P[μ])^2)))))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^5)+(Subscript[D, 0]^2) ((1+K) ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4)-((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2) (4 (∑_(j=1)^M)((((T[j])^2) ((Tc[j])^2))/((P[j])^2))+(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((Tc[λ])^2))/((P[λ])^2)))+2 ((∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^4) ((Tc[μ])^4))/((P[λ])^4))+(∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((T[μ])^2) ((Tc[λ])^2) ((Tc[μ])^2))/(((P[λ])^2) ((P[μ])^2))))-4 ((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))) (∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)(∑_(μ=1)^M)((((T[j])^2) T[k] T[μ] ((Tc[j])^2) Tc[k] Tc[μ])/(((P[j])^2) P[k] P[μ] (Subscript[D, 0]^2))))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^5))

(1/(K (Subscript[D, 0]^2)))((1/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4))((2+K) ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4)+((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2) ((∑_(j=1)^M)((((T[j])^2) ((Tc[j])^2))/((P[j])^2))-(∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^2) ((Tc[μ])^2))/((P[μ])^2))-2 ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2))+2 ((∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^4) ((Tc[μ])^4))/((P[λ])^4))+(∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((T[μ])^2) ((Tc[λ])^2) ((Tc[μ])^2))/(((P[λ])^2) ((P[μ])^2)))))+(1/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^5))((Subscript[D, 0]^2) ((1+K) ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4)-((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2) (4 (∑_(j=1)^M)((((T[j])^2) ((Tc[j])^2))/((P[j])^2))+(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((Tc[λ])^2))/((P[λ])^2)))+2 ((∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^4) ((Tc[μ])^4))/((P[λ])^4))+(∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((T[μ])^2) ((Tc[λ])^2) ((Tc[μ])^2))/(((P[λ])^2) ((P[μ])^2))))-4 ((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))) (∑_(k=1)^M)(∑_(j=1)^M)(∑_(μ=1)^M)((((T[j])^2) T[k] T[μ] ((Tc[j])^2) Tc[k] Tc[μ])/(((P[j])^2) P[k] P[μ] (Subscript[D, 0]^2))))))

(1/(K (Subscript[D, 0]^2)))((1/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4))((2+K) ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4)+((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2) (-2 ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2)+(∑_(j=1)^M)((((T[j])^2) ((Tc[j])^2))/((P[j])^2))-(∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^2) ((Tc[μ])^2))/((P[μ])^2)))+2 ((∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^4) ((Tc[μ])^4))/((P[λ])^4))+(∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((T[μ])^2) ((Tc[λ])^2) ((Tc[μ])^2))/(((P[λ])^2) ((P[μ])^2)))))+(1/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^5))((Subscript[D, 0]^2) ((1+K) ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4)-((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2) (4 (∑_(j=1)^M)((((T[j])^2) ((Tc[j])^2))/((P[j])^2))+(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((Tc[λ])^2))/((P[λ])^2)))+2 ((∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^4) ((Tc[μ])^4))/((P[λ])^4))+(∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((T[μ])^2) ((Tc[λ])^2) ((Tc[μ])^2))/(((P[λ])^2) ((P[μ])^2))))-4 ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^3) (∑_(j=1)^M)((((T[j])^2) ((Tc[j])^2) )/(((P[j])^2)  (Subscript[D, 0]^2))))))

(1/(K (Subscript[D, 0]^2)))(((Subscript[D, 0]^2) ((1+K) ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^(-1))-4 ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^(-2)) (∑_(j=1)^M)((((T[j])^2) ((Tc[j])^2))/(((P[j])^2) (Subscript[D, 0]^2)))-((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^(-3)) (5 (∑_(j=1)^M)((((T[j])^2) ((Tc[j])^2))/((P[j])^2)))+2 ((((∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^4) ((Tc[μ])^4))/((P[λ])^4))+((((∑_(μ=1)^M)(( ((T[μ])^2)  ((Tc[μ])^2))/( ((P[μ])^2)))))^2)))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^5))))+((2+K) +((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^(-2)) (-2 ((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2))+2 ((((∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^4) ((Tc[μ])^4))/((P[λ])^4))+(∑_(μ=1)^M)(∑_(λ=1)^M)((((T[λ])^2) ((T[μ])^2) ((Tc[λ])^2) ((Tc[μ])^2))/(((P[λ])^2) ((P[μ])^2)))))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4)) ))

(1/(Subscript[D, 0]^2))+ (((1/K)+1)/((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))-(1/(K ))(( (∑_(j=1)^M)((((T[j])^2) ((Tc[j])^2))/((P[j])^2)))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^2))((4/(Subscript[D, 0]^2))+(5/((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j])))))+(2/(K ))(( (((((∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^2) ((Tc[μ])^2))/((P[μ])^2))))^2)+(∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^4) ((Tc[μ])^4))/((P[λ])^4))))/((((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j]))))^4))((1/(Subscript[D, 0]^2))+(1/((∑_(j=1)^M)((T[j] Tc[j])/(P[j])))))

(1/(Subscript[D, 0]^2))+((1+(1/K))/(σ^2))-((((4/(Subscript[D, 0]^2))+(5/(σ^2))) (∑_(j=1)^M)((((T[j])^2) ((Tc[j])^2))/((P[j])^2)))/(K (σ^4)))+((2 ((1/(Subscript[D, 0]^2))+(1/(σ^2))) (((((∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^2) ((Tc[μ])^2))/((P[μ])^2))))^2)+(∑_(μ=1)^M)((((T[μ])^4) ((Tc[μ])^4))/((P[λ])^4))))/(K (σ^8)))

Calibration Error Propagation

Rf1 = ((1 +((Subscript[α, 0]) + δ δα) ((Subscript[β, 0 ])+  δ δβ) ((Subscript[G, 0])+  ϵ ΔG) (E^(I ((Subscript[ϕ, G]) +  ϵ (Subscript[Δϕ, G])))))/(((Subscript[α, 0]) +  δ δα) ((((Subscript[G, 0])+  ϵ ΔG) (E^(I ((Subscript[ϕ, G]) + ϵ  (Subscript[Δϕ, G])))))/(((Subscript[A, 0])+  ϵ ΔA) (E^(I ((Subscript[ϕ, A]) +  ϵ (Subscript[Δϕ, A])))) ((Subscript[D, 0])+ ϵ  ΔD) (E^(I((Subscript[ϕ, D]) + ϵ  (Subscript[Δϕ, D]))))))))

Rf0 = Rf1/.(Subscript[Δϕ, A])->0/.(Subscript[Δϕ, G])->0/.(Subscript[Δϕ, D])->0/.ΔG->0/.ΔA->0/.ΔD->0/.δα->0/.δβ->0

Rf = Simplify[Normal[Series[  Rf1 ,{δ,0,2},{ϵ,0,1}]]]
%/.((δα)^2)->(Subscript[σ, α]^2)/.((δβ)^2)->(Subscript[σ, β]^2)/.δα->0/.δβ->0

Collect[Simplify[Expand[Rf - Rf0]],{(δ^(_:1)),(ϵ^(_:1)),(δ^(_:1))(ϵ^(_:1))}]
%/.δ->1/.ϵ->1/.((δα)^2)->(Subscript[σ, α]^2)/.((δβ)^2)->(Subscript[σ, β]^2)/.δα->0/.δβ->0/.ΔG->0/.ΔA->0/.ΔD->0/.(Subscript[Δϕ, G])->0/.(Subscript[Δϕ, A])->0/.(Subscript[Δϕ, D])->0

(((Subscript[D, 0])  (Subscript[A, 0]) (E^(I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))))/((Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0])))( Expand[Simplify[((ΔA (Subscript[D, 0]) (Subscript[G, 0]) ((Subscript[α, 0]^2)+(E^(I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]^3) (Subscript[β, 0])+(Subscript[σ, α]^2))+(Subscript[A, 0]) (ΔD (Subscript[G, 0]) ((Subscript[α, 0]^2)+(E^(I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]^3) (Subscript[β, 0])+(Subscript[σ, α]^2))+(Subscript[D, 0]) (I (E^(I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^3) (Subscript[β, 0]) ((Subscript[Δϕ, A])+(Subscript[Δϕ, D]))-(Subscript[α, 0]^2) (ΔG-I (Subscript[G, 0]) ((Subscript[Δϕ, A])+(Subscript[Δϕ, D])-(Subscript[Δϕ, G])))+(-ΔG+I (Subscript[G, 0]) (-I+(Subscript[Δϕ, A])+(Subscript[Δϕ, D])-(Subscript[Δϕ, G]))) (Subscript[σ, α]^2)))))/(((Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]^2)  (Subscript[D, 0]) (Subscript[A, 0])))]])

qq3 = (((E^(I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) (Subscript[A, 0]) (Subscript[D, 0]))/((Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0])))( ((((ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((ΔD)/(Subscript[D, 0])))(1 + (E^(I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]) (Subscript[β, 0]))-((ΔG)/(Subscript[G, 0]))+(I (Subscript[Δϕ, A])+I (Subscript[Δϕ, D]) -I (Subscript[Δϕ, G]))+I (E^(I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]) (Subscript[β, 0]) ((Subscript[Δϕ, A])+ (Subscript[Δϕ, D]))+((Subscript[σ, α]^2)/(Subscript[α, 0]^2))(1+((ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((ΔD)/(Subscript[D, 0]))-((ΔG)/(Subscript[G, 0]))+I (Subscript[Δϕ, A])+I (Subscript[Δϕ, D])-I (Subscript[Δϕ, G]))))

Simplify[qq3/Rf0]

(1/(1+(E^(I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]) (Subscript[β, 0])))(-((ΔG)/(Subscript[G, 0]))+(((ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((ΔD)/(Subscript[D, 0])) + I (Subscript[Δϕ, A])+I (Subscript[Δϕ, D])) (1+(E^(I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]) (Subscript[β, 0]))-I (Subscript[Δϕ, G])+(((1+((ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((ΔD)/(Subscript[D, 0]))-((ΔG)/(Subscript[G, 0]))+I (Subscript[Δϕ, A])+I (Subscript[Δϕ, D])-I (Subscript[Δϕ, G])) (Subscript[σ, α]^2))/(Subscript[α, 0]^2)))

VarRf = Collect[Series[Expand[Simplify[(  Rf - Rf0)^2]],{δ,0,2},{ϵ,0,1}],{(δ^(_:1)),(ϵ^(_:1)),(δ^(_:1))(ϵ^(_:1))}]

Expand[Simplify[Expand[VarRf]]]/.δ->1/.ϵ->1
Expand[Simplify[Expand[VarRf]]]/.((δα)^2)->(Subscript[σ, α]^2)/.((δβ)^2)->(Subscript[σ, β]^2)/.δα->0/.δβ->0/.δ->1/.ϵ->1
Expand[Simplify[Expand[VarRf]]]/.((δα)^2)->(Subscript[σ, α]^2)/.((δβ)^2)->(Subscript[σ, β]^2)/.δα->0/.δβ->0/.δ->1/.ϵ->1/.ΔG->0/.ΔA->0/.ΔD->0/.(Subscript[Δϕ, G])->0/.(Subscript[Δϕ, A])->0/.(Subscript[Δϕ, D])->0

(((E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) ((Subscript[A, 0])^2) ((Subscript[D, 0])^2))/((Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2)))Expand[Simplify[-((4 (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) ΔG (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]^2) (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[G, 0]^3) (Subscript[α, 0]^4)))+((4 (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) ΔD (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]) (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^4)))+((4 (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) ΔA (Subscript[A, 0]) (Subscript[D, 0]^2) (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^4)))+(((E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]^2) (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^4)))+((2 (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G]))+I (Subscript[ϕ, G]))) ΔD (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]) (Subscript[β, 0]) (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]^3)))+((2 (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G]))+I (Subscript[ϕ, G]))) ΔA (Subscript[A, 0]) (Subscript[D, 0]^2) (Subscript[β, 0]) (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]^3)))+((4 I (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]^2) (Subscript[Δϕ, A]) (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^4)))+((2 I (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G]))+I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]^2) (Subscript[β, 0]) (Subscript[Δϕ, A]) (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]^3)))+((4 I (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]^2) (Subscript[Δϕ, D]) (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^4)))+((2 I (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G]))+I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]^2) (Subscript[β, 0]) (Subscript[Δϕ, D]) (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]^3)))-((4 I (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]^2) (Subscript[Δϕ, G]) (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^4)))+2 (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G]))+2 I (Subscript[ϕ, G]))) ΔD (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]) (Subscript[σ, β]^2)+2 (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G]))+2 I (Subscript[ϕ, G]))) ΔA (Subscript[A, 0]) (Subscript[D, 0]^2) (Subscript[σ, β]^2)+(E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G]))+2 I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]^2) (Subscript[σ, β]^2)+2 I (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G]))+2 I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]^2) (Subscript[Δϕ, A]) (Subscript[σ, β]^2)+2 I (E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G]))+2 I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]^2) (Subscript[Δϕ, D]) (Subscript[σ, β]^2)]/((((E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) ((Subscript[A, 0])^2) ((Subscript[D, 0])^2))/((Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2))) )]

qq2 = (((E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]^2) )/((Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2)))(((Subscript[σ, α]^2)/(Subscript[α, 0]^2))(1+((( ΔA)/(Subscript[A, 0]))+(( ΔD)/(Subscript[D, 0]))+ I (Subscript[Δϕ, A])+ I (Subscript[Δϕ, D]))(4 + 2(E^(I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0])(Subscript[β, 0]))-((4 ΔG)/(Subscript[G, 0]))-4 I (Subscript[Δϕ, G]))+(E^(2 I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2) (Subscript[σ, β]^2)(1+((2 ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((2 ΔD)/(Subscript[D, 0]))+2 I (Subscript[Δϕ, A])+2 I (Subscript[Δϕ, D])))

Rf0
Simplify[qq2/Rf0^2]

(1/(((1+(E^(I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]) (Subscript[β, 0])))^2))(((Subscript[σ, α]^2)/(Subscript[α, 0]^2))(1-((4 ΔG)/(Subscript[G, 0]))+(4+2 (E^(I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]) (Subscript[β, 0])) (((ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((ΔD)/(Subscript[D, 0]))+I ((Subscript[Δϕ, A])+(Subscript[Δϕ, D])))-4 I (Subscript[Δϕ, G])) +(E^(2 I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2)  (Subscript[σ, β]^2)(1+((2 ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((2 ΔD)/(Subscript[D, 0]))+2 I (Subscript[Δϕ, A])+2 I (Subscript[Δϕ, D])) )

Expand[Simplify[Expand[(1/((Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2)))((E^(2 I ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]^2) (((Subscript[σ, α]^2)/(Subscript[α, 0]^2))+((4 ΔA (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[A, 0]) (Subscript[α, 0]^2)))+((4 ΔD (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[D, 0]) (Subscript[α, 0]^2)))-((4 ΔG (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]^2)))+((2 (E^(I (Subscript[ϕ, G]))) ΔA (Subscript[G, 0]) (Subscript[β, 0]) (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[A, 0]) (Subscript[α, 0])))+((2 (E^(I (Subscript[ϕ, G]))) ΔD (Subscript[G, 0]) (Subscript[β, 0]) (Subscript[σ, α]^2))/((Subscript[D, 0]) (Subscript[α, 0])))+((4 I (Subscript[Δϕ, A]) (Subscript[σ, α]^2))/(Subscript[α, 0]^2))+((2 I (E^(I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[β, 0]) (Subscript[Δϕ, A]) (Subscript[σ, α]^2))/(Subscript[α, 0]))+((4 I (Subscript[Δϕ, D]) (Subscript[σ, α]^2))/(Subscript[α, 0]^2))+((2 I (E^(I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[β, 0]) (Subscript[Δϕ, D]) (Subscript[σ, α]^2))/(Subscript[α, 0]))-((4 I (Subscript[Δϕ, G]) (Subscript[σ, α]^2))/(Subscript[α, 0]^2))+(E^(2 I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2) (Subscript[σ, β]^2)+((2 (E^(2 I (Subscript[ϕ, G]))) ΔA (Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2) (Subscript[σ, β]^2))/(Subscript[A, 0]))+((2 (E^(2 I (Subscript[ϕ, G]))) ΔD (Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2) (Subscript[σ, β]^2))/(Subscript[D, 0]))+2 I (E^(2 I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2) (Subscript[Δϕ, A]) (Subscript[σ, β]^2)+2 I (E^(2 I (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2) (Subscript[Δϕ, D]) (Subscript[σ, β]^2)))] - Expand[qq2]]]
qq  = Simplify[Expand[%]]

Statistical properties of the response function, R[f,t].
           Albert Lazzarini 2004.09.04
           Version 02

The  interferometer response function is defined in T040060-00-D  (Calibration of the LIGO Detectors for S2) as,

h[f,(Subscript[t, 0])] ≡ R[f,(Subscript[t, 0])]  AS_Q[f,(Subscript[t, 0])] , with R[f,(Subscript[t, 0])] defined by,

R[f,t] ≡ ((1 +α[t] β[t] G[f,(Subscript[t, 0])])/(α[t] ((G[f,(Subscript[t, 0])])/(A[f,(Subscript[t, 0])]D[f,(Subscript[t, 0])])))) . Chapter 3 of the document discusses calibration errors, focusing on uncertainties in estimates of R as expressed by a quadrature sum of a number  of independent contributions. Based on recent analysis of bias and associated errors that are encountered when experimentally determined quantities are used in nonlinear numerical expressions (such as the one above), it appears to be the case that the full analysis of the statistics of R may be a bit more complicated. Morevoer,
the mean of R, ⟨R⟩,  can be shown to be  biased, suggesting that the calibration is biased.
Begin by expressing the "true" response function as,

(Subscript[R, 0]) ≡ ((1 +(Subscript[α, 0]) (Subscript[β, 0]) (Subscript[G, 0])(e^(i (Subscript[ϕ, G]))))/((Subscript[α, 0]) (((Subscript[G, 0])(e^(i (Subscript[ϕ, G]))))/((Subscript[A, 0])(e^(i (Subscript[ϕ, A]))) (Subscript[D, 0])(e^(i (Subscript[ϕ, D]))))))). The explicit time dependence of (Subscript[α, 0]),(Subscript[β, 0]) and the frequency dependence of (Subscript[G, 0]), (Subscript[A, 0]), (Subscript[D, 0]), are
not shown to simplify  the expressions. The measured quantities α, β will have certain errors asscociated with them δα, δβ,

α=(Subscript[α, 0]) + δα
β=(Subscript[β, 0 ])+ δβ .

The coefficients α and β are dynamically fluctuating estimates that vary in time. Assume that ⟨δα⟩ = ⟨δβ⟩ = 0,and  ⟨((δα)^2)⟩ = (Subscript[σ, α]^2) , ⟨((δβ)^2)⟩ = (Subscript[σ, β]^2) .

In addition, the (complex) frequency series will have uncertainties arising in the parameters of the models from which they were derived,

G = ((Subscript[G, 0])+ ΔG) (e^(i ((Subscript[ϕ, G]) + (Subscript[Δϕ, G])))),
A = ((Subscript[A, 0])+ ΔA) (e^(i ((Subscript[ϕ, A]) + (Subscript[Δϕ, A])))),
D = ((Subscript[D, 0])+ ΔD) (e^(i((Subscript[ϕ, D]) + (Subscript[Δϕ, D])))).

The variations in this case are static errors associated with the models and not with time-dependent measurements.

Using these expressions, R may be written as,
R ≡ ((1 +((Subscript[α, 0]) + δα) ((Subscript[β, 0 ])+ δβ) ((Subscript[G, 0])+ ΔG) (e^(i ((Subscript[ϕ, G]) + (Subscript[Δϕ, G])))))/(((Subscript[α, 0]) + δα) ((((Subscript[G, 0])+ ΔG) (e^(i ((Subscript[ϕ, G]) + (Subscript[Δϕ, G])))))/(((Subscript[A, 0])+ ΔA) (e^(i ((Subscript[ϕ, A]) + (Subscript[Δϕ, A])))) ((Subscript[D, 0])+ ΔD) (e^(i((Subscript[ϕ, D]) + (Subscript[Δϕ, D]))))))))
Expanding to first order in the static errors, ΔX, and to second order in the statistical errors, one obtains,

⟨R⟩ - (Subscript[R, 0]) = 
(((e^(i ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) (Subscript[A, 0]) (Subscript[D, 0]))/((Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0])))( ((((ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((ΔD)/(Subscript[D, 0])))(1 + (e^(i (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]) (Subscript[β, 0]))-((ΔG)/(Subscript[G, 0]))+(i (Subscript[Δϕ, A])+i (Subscript[Δϕ, D]) -i (Subscript[Δϕ, G]))+i (e^(i (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]) (Subscript[β, 0]) ((Subscript[Δϕ, A])+ (Subscript[Δϕ, D]))+((Subscript[σ, α]^2)/(Subscript[α, 0]^2))(1+((ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((ΔD)/(Subscript[D, 0]))-((ΔG)/(Subscript[G, 0]))+i (Subscript[Δϕ, A])+i (Subscript[Δϕ, D])-i (Subscript[Δϕ, G])))).

This expression shows that the expected value of R is a biased estimator for the true response function, This result be expressed as a fraction of the true response function,

((⟨R⟩ - (Subscript[R, 0]) )/(Subscript[R, 0])) = (1/(1+(e^(i (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]) (Subscript[β, 0])))(-((ΔG)/(Subscript[G, 0]))+(((ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((ΔD)/(Subscript[D, 0])) + i (Subscript[Δϕ, A])+i (Subscript[Δϕ, D])) (1+(e^(i (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]) (Subscript[β, 0]))-i (Subscript[Δϕ, G])+(((1+((ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((ΔD)/(Subscript[D, 0]))-((ΔG)/(Subscript[G, 0]))+i (Subscript[Δϕ, A])+i (Subscript[Δϕ, D])-i (Subscript[Δϕ, G])) (Subscript[σ, α]^2))/(Subscript[α, 0]^2)))


The variance of R relative to the true (Subscript[R, 0])is given by,

Var[R] ≡ ⟨(((R - (Subscript[R, 0])))^2)⟩ 
=  (((e^(2 i ((Subscript[ϕ, A])+(Subscript[ϕ, D])-(Subscript[ϕ, G])))) (Subscript[A, 0]^2) (Subscript[D, 0]^2) )/((Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2)))(((Subscript[σ, α]^2)/(Subscript[α, 0]^2))(1+((( ΔA)/(Subscript[A, 0]))+(( ΔD)/(Subscript[D, 0]))+ i (Subscript[Δϕ, A])+ i (Subscript[Δϕ, D]))(4 + 2(e^(i (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0])(Subscript[β, 0]))-((4 ΔG)/(Subscript[G, 0]))-4 i (Subscript[Δϕ, G]))+(e^(2 i (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2) (Subscript[σ, β]^2)(1+((2 ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((2 ΔD)/(Subscript[D, 0]))+2 i (Subscript[Δϕ, A])+2 i (Subscript[Δϕ, D]))).
And,
((Var[R])/(Subscript[R, 0]^2)) = (1/(((1+(e^(i (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]) (Subscript[β, 0])))^2))(((Subscript[σ, α]^2)/(Subscript[α, 0]^2))(1-((4 ΔG)/(Subscript[G, 0]))+(4+2 (e^(i (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]) (Subscript[α, 0]) (Subscript[β, 0])) (((ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((ΔD)/(Subscript[D, 0]))+i ((Subscript[Δϕ, A])+(Subscript[Δϕ, D])))-4 i (Subscript[Δϕ, G])) +(e^(2 i (Subscript[ϕ, G]))) (Subscript[G, 0]^2) (Subscript[α, 0]^2)  (Subscript[σ, β]^2)(1+((2 ΔA)/(Subscript[A, 0]))+((2 ΔD)/(Subscript[D, 0]))+2 i (Subscript[Δϕ, A])+2 i (Subscript[Δϕ, D])) )